El símbolo de Hilbert es un objeto local, asociado a un campo local $K_v$, es decir, la completitud de un campo numérico $K$ con respecto a una valoración $p$-ádica $v$. Su principal motivación: las llamadas leyes de reciprocidad explícitas en la teoría de cuerpos de clases.
Primero recordemos cómo el principio local-global entra en juego en CFT. La CFT global clásica ("pre-Segunda Guerra Mundial") construida por Takagi et al. se basa en las nociones fundamentales del módulo $\mathcal M$ y el grupo $C_{\mathcal M}$ de clases de congruencia generalizadas asociadas a una extensión abeliana finita $L/K$ de campos numéricos, pero una gran desventaja técnica de los módulos, que varían con $L$, es que no se comportan bien con respecto al compositum de extensiones sobre $K$. En la CFT cohomológica ("post-Segunda Guerra Mundial"), el principio local-global se arraiga en la teoría algebraica de números (Hasse dijo) con la noción de idélicos de Chevalley, lo que permite comenzar con CFT sobre campos locales, y luego "pegar" los resultados locales juntos para obtener CFT sobre campos numéricos. El punto es que la ley de reciprocidad local para una extensión abeliana $L_w /K_v$ simplemente establece que $K_{v}^*/NL_{w}^* \cong Gal(L_w /K_v)$, donde $N$ denota la norma de $L_w /K_v$, y la reciprocidad global simplemente se lee $C_K /NC_L \cong Gal(L/K)$, donde $N$ es la norma y $C_F$ es el grupo de clases de idélicos de $F$. Las isomorfismos canónicos anteriores se llaman isomorfismos de reciprocidad (locales o globales). Como se escriben, son compatibles con límites inversos y permiten definir mapas de reciprocidad $ K_{v}^*\to G_{v}^{ab}$ y $C_K \to G_{K}^{ab}$, donde $(.)^{ab}$ denota el grupo de Galois de la extensión abeliana maximal.
A partir de ahora, por simplicidad, $K$ denotará un campo local fijo. Queda por hacer lo más explícito posible el mapa de reciprocidad local $\theta : K^* \to G_{K}^{ab}$. Debido a la formulación cohomológica de CFT local (= esencialmente la determinación del grupo Brauer de $K$), es más conveniente describir $\theta$ por dualidad, más precisamente, dando todos los valores $\chi (\theta (b))$ para todos los $b \in K^*$ y todos los caracteres $1$-dimensionales de $ G$. Este enfoque dual requiere recurrir a la teoría de Kummer, es decir, asumir que $K$ contiene un grupo $\mu_n$ de raíces $n$-ésimas de la unidad. Entonces, para $a, b \in K^*$, el símbolo de Hilbert $n$-ésimo se define por $(a,b) := \theta (b)(\sqrt [n] {a} )/ \sqrt [n] {a} \in \mu_n$. Las principales propiedades funtoriales del símbolo de Hilbert se dan en el ejercicio 2 de Cassels-Fröhlich. Una forma explícita del símbolo de Hilbert se llama una ley de reciprocidad explícita. Ejemplos: - si la característica residual $p$ de $K$ no divide a $n$, el símbolo de Hilbert $tame$ se conoce explícitamente (ej. 2.8 de C-F) - esto no es así para el símbolo de Hilbert salvaje (es decir, cuando $p$ divide a $n$), aunque se conocen muchos casos particulares; esto significa que la CFT explícita no se conoce en general - para $n =2$ y $k = \mathbf Q_p$, todo se conoce explícitamente; esto equivale a responder a la pregunta de la existencia de ceros de la forma cuadrática $ax^2 + by^2 – z^2$ (tu pista).
NB. Las principales relaciones verificadas por los símbolos de Hilbert (especialmente la llamada relación de Steinberg {a, 1-a} = 0) se pueden utilizar en la teoría de Milnor K para caracterizar el grupo $K_{2}^M (F)$ de un campo $F$ (teorema de Matsumoto). El cálculo de Tate de $K_{2}^M (\mathbf Q)$ se puede interpretar como siendo esencialmente equivalente a la ley de reciprocidad cuadrática. Un isomorfismo sorprendente entre $K_{n}^M (F) /r$ (donde $r$ es cualquier entero invertible en $F$) y la cohomología de Galois de $F$ con coeficientes $\mathbf Z/r \mathbf Z (n)$, conjeturado por Milnor-Bloch-Kato, ha sido recientemente demostrado por Voevodsky et al. En el caso de un campo numérico $F$, esto permitió mostrar resultados profundos sobre el significado aritmético de los valores especiales de la función zeta de Dedekind $\zeta _F (s)$.
