Supongamos que $(W_t)_{t\geq 0}$ es un movimiento Browniano con trayectorias continuas. Definimos entonces $$Y_t:=\int^t_0 W_s\,ds$$ Uno sabe que $(W_t,Y_t)$ es un proceso Gaussiano con densidad estrictamente positiva en $\mathbb R^2$ para $t>0$.
Ahora queremos demostrar que $Y$ no es un proceso de Markov con respecto a $\mathcal F^W_t$. Entonces supongamos que $W_t$ es un proceso de Markov. Entonces, por la propiedad de Markov, se tiene para $0 $$\mathbb E[Y_t\mid \mathcal F_s^W]=\mathbb E[Y_t\mid Y_s] = Y_s+(t-s)W_s$$ Por lo tanto $$(t-s)W_s=\mathbb E[Y_t\mid Y_s]-Y_s$$ lo cual hace que $W_s$ sea una variable aleatoria medible respecto a $\sigma(Y_s)$.
En mi mente había dos formas de proceder con la demostración y la primera es mi favorita.
Enfoque 1.
Esto significa que existe algún conjunto de Borel $U$ tal que $$\{\omega\ : \ W_s(\omega)\in [0,1]\}=\{\omega \ : \ Y_s(\omega)\in U\}$$ Observa que $U\neq\emptyset$ porque el conjunto del lado izquierdo tiene medida positiva. Por lo tanto, hay un $u\in U$ para el cual se tiene lo siguiente: $$Y_s(\omega)=u \Longrightarrow W_s(\omega)\in [0,1]$$ Pero eso no puede ser cierto ya que ciertamente se puede encontrar un $\omega$ para el cual $Y_s(\omega)=u$ pero $W_s(\omega)>2$. Básicamente, lo que estoy diciendo es que se puede encontrar una integral con el mismo valor para una función completamente diferente. Sin embargo, surge un problema aquí: el conjunto $\{Y_s=u\}$ tiene medida cero, ¿cómo deberíamos comprender esto? ¿Y qué asegura que exista otro camino del MB $W$ para el cual $W_s(\omega)>2$?
Enfoque 2.
Aparentemente, se tiene que $W_s=g(Y_s)$ para alguna función Borel medible $g$. Sea entonces $$A=\{(x,g(x))\in\mathbb R^2 \ : \ x\in [0,1]\}$$ Entonces $$0<\mathbb P(Y_s\in [0,1])=\mathbb P((Y_s,W_s)\in A)$$ Pero $A$ es un gráfico de una función Borel medible, por lo que tiene medida de Lebesgue cero, lo cual contradice que teníamos una densidad de Lebesgue positiva.
Pregunta. ¿Son plausibles mis enfoques? De lo contrario, ¿qué se necesita para corregirlos?
Honestamente, tengo más certeza en el enfoque 2, aunque creo que el enfoque 1 se puede rescatar. También sé que esta pregunta se podría abordar a través de la caracterización de la covarianza de los procesos de Markov Gaussiano. Sé que también hay un post al respecto en este sitio, pero no me interesa mucho.
