Tiempos de parada para el movimiento browniano

Question

Sea $B_t, t\geq 0$ una movimiento Browniano estándar.

Sea $\big(\mathcal{G}_t, t\geq 0\big)$ la filtración natural, definida por $\mathcal{G}_t=\sigma(B_s, 0\leq s\leq t)$.

Definir también una filtración $\big(\mathcal{F}_t, t\geq 0\big)$ por $\mathcal{F}_t=\bigcap_{\epsilon>0} \mathcal{G}_{t+\epsilon}$.

Sea $\tau$ un tiempo de parada con respecto a la filtración $(\mathcal{F}_t)$. ¿Siempre existe $\tau'$ que sea un tiempo de parada con respecto a la filtración $(\mathcal{G}_t)$ tal que $\tau=\tau'$ con probabilidad 1?

Relacionado: La ley de 0-1 de Blumenthal dice que, para un $t$ fijo, para cualquier evento $A\in\mathcal{F}_t$, hay un evento $\tilde{A}\in\mathcal{G}_t$ tal que la diferencia simétrica de $A$ y $\tilde{A}$ tiene probabilidad 0.

Sin embargo, esto por sí solo no es suficiente. Por ejemplo, sea $U$ una variable aleatoria uniforme en $[0,1]$, y definamos un proceso $C_t, t\geq 0$ por $C_t=0$ para $t\leq U$ y $C_t=t-U$ para $t\geq U$. Luego, se cumple una ley de 0-1 similar, y $U$ en sí es un tiempo de parada para la filtración $\mathcal{F}_t=\bigcap_{\epsilon>0}\sigma(C_s, 0\leq s\leq t+\epsilon)$, pero no existe un tiempo de parada $V$ para la filtración $\mathcal{G}_t=\sigma(C_s, 0\leq s\leq t)$ tal que $U=V$ con probabilidad 1.

Answer 1

Lo hay, pero no es un hecho tan obvio.

Sea $\tau$ un tiempo de parada $(\mathcal F_t)$. Entonces $\tau$ también es un tiempo de parada de la filtración aumentada $(\tilde {\mathcal F}_t)$, obtenida agregando todos los conjuntos nulos en la completación de $\mathcal F_\infty$ a cada $\mathcal F_t$. Como se señaló anteriormente, es una consecuencia de la ley cero-uno de Blumenthal que $(\tilde{ \mathcal F}_t)$ coincide con la augmetación análoga $(\tilde{\mathcal G}_t)$ de $(\mathcal G_t)$. Además, se sabe (ver la sección 5 del Capítulo IV del libro de Revuz y Yor, por ejemplo) que cada tiempo de parada de $(\tilde{ \mathcal F}_t)$ es predecible. En particular, $\tau$ es $(\tilde{ \mathcal F}_t)$-predecible. Por lo tanto, el proceso $Z_t:=1_{\{\tau=t\}}$ es $(\tilde{ \mathcal G}_t)$-predecible. Según el resultado de "descompletación" declarado como un lema en la sección 6 del Apéndice I del Volumen B de Probabilités et Potentiel de Dellacherie y Meyer, $Z$ es indistinguible de un proceso $(\mathcal G_t)$-predecible $Z'$. El tiempo de parada $(\mathcal G_t)$ $\tau':=\inf\{t:Z'_t=1\}$ es a.s. igual a $\tau$.