Probar que la función $f(x)= \begin{cases}x^2 & x\in\mathbb{Q}\\-x^2 & else\end{cases}$ es diferenciable en $x=0$

Question

Demuestra que la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)= \begin{cases}x^2 & x\in\mathbb{Q}\\-x^2 & else\end{cases}$

es diferenciable en $x=0$ y que $f'(0)=0$.

Hola a todos, este es un problema de cálculo simple que me encontré, pero realmente no sé cómo probar esto usando la definición $lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(x)$ debido a los casos. Es trivial que si $x\in\mathbb{Q}$ entonces $f'(x)=2x$, en otro caso $f'(x)=-2x \Rightarrow$ ambos límites de estas funciones son cero cuando $x$ se acerca a cero, pero ¿cómo pruebo formalmente que la función es diferenciable en $0$? ¡Gracias! :)

Answer 1

$$\lim_{x \to 0} \left| \frac{f(x)-f(0)}{x}\right|=\lim_{x \to 0} \left| \frac{f(x)}{x}\right|=\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{|x|}=\lim_{x \to 0}|x|=0$$

Por lo tanto $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0$$

Answer 2

$$ \frac {f(x)-f(0)}{x-0}= \begin{cases} x & x\in\mathbb{Q}\\-x & else\end{cases}$$ Por lo tanto $$ \frac {f(x)-f(0)}{x-0}\to 0\implies $$

$$ f'(0)=0$$

Answer 3

Incluso más: $g$ diferenciable en $0$, $g(0) = g'(0) = 0, |f| \leq |g| \implies$ $f$ diferenciable en $0$, $f'(0) = 0$. Demostración: cuando $x \to 0$, $$ \left|\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}\right| = \left|\frac{f(x)}{x}\right| \leq \left|\frac{g(x)}{x}\right| = \left|\frac{g(x) - g(0)}{x - 0}\right| \rightarrow |g'(0)| = 0. $$