¿Qué principios de elección implica "cada conjunto está en biyección con un conjunto transitivo"?

Question

Un conjunto $X$ es transitivo si $x\in y\in X\implies x\in X$. Diremos $\mathsf{TC}$ para referirnos al axioma "Para todo $X$ hay un conjunto transitivo $Y$ tal que $|X|=|Y|$", donde $|X|=|Y|$ significa que hay una biyección $X\to Y$. Me interesa saber cuánta elección obtenemos al asumir $\mathsf{TC}$.

Pregunta. ¿Implica $\mathsf{TC}$ algún principio de elección clásico? Por ejemplo, $\mathsf{AC}_X(Y)$, $\mathsf{DC}_\lambda$, principios de comparabilidad, etc.

Asumiendo el Axioma de Elección, $\mathsf{TC}$ se cumple porque todo conjunto está en biyección con un ordinal. Por otro lado, $\mathsf{TC}$ implica que todo conjunto infinito tiene una sobreyección en $\omega$ (si $X$ es transitivo e infinito entonces la función rango tendrá una imagen infinita), por lo que $\mathsf{TC}$ no es una consecuencia de $\mathsf{ZF}$.

Supongo que $\mathsf{TC}$ tiene una interacción más fuerte con los números de Hartogs y Lindenbaum que simplemente $(\forall X)\aleph^\ast(X)\neq\aleph_0$. Tal vez $\mathsf{TC}$, o quizás $\mathsf{TC}+\mathsf{KWP}_1$, podría implicar el completo $\mathsf{AC}_\mathsf{WO}$.

Answer 1

Aquí hay una instancia, aunque no con un principio de elección "clásico".

Es decir, tu principio TC implica el principio de relación rígida RR, un principio de elección débil introducido por Justin Palumbo y yo en este artículo:

• Joel David Hamkins y Justin Palumbo, El principio de relación rígida, un nuevo principio de elección débil, Math Logic Quarterly, 58 (6):394-398 (2012), DOI:10.1002/malq.201100081, arXiv:1106.4635.

El principio de relación rígida es la afirmación de que cada conjunto admite una relación binaria rígida. Esto es cierto bajo TC, ya que $\langle X,\in\rangle$ es rígido siempre que $X$ sea un conjunto transitivo, y por lo tanto cada conjunto que sea biyectivo con un conjunto transitivo admite una relación binaria rígida.

Mientras tanto, Justin y yo demostramos que RR está estrictamente intermedio entre ZF y ZFC.

Answer 2

Se puede decir un poco más que solo todo conjunto infinito secciona en $\omega$. Cada conjunto infinito es Dedekind-infinito.

La razón es simple. Si $T$ es un conjunto transitorio infinito, entonces $T\cap V_\omega$ es un conjunto transitorio infinito, y es numerable. Para ver esto, observe que si $T\cap V_\omega$ es finito, entonces, dado que $T$ es infinito, hay una brecha en las clasificaciones finitas, pero esto es imposible ya que la función de clasificación en un conjunto transitorio tiene una imagen cerrada hacia abajo (es decir, su imagen es un ordinal).

Esto probablemente se puede extender para obtener un poco más de este argumento, pero el "inspeccionar localmente, concluir globalmente" está destinado a fallar aquí. Si todo conjunto infinito de números reales es Dedekind-infinito, entonces cada conjunto de reales es equipotente a un conjunto transitorio. Simplemente considere los números reales como $V_{\omega+1}$ y luego cada conjunto infinito $T\subseteq V_{\omega+1}$ es equipotente con $T\cup V_\omega$, que es transitorio. Igualmente, use $\mathcal P(\omega)$ y tome $T\cup\omega$.

Pero, recuerde que podemos tener conjuntos de reales que son muy excéntricos, en el sentido técnico, mientras sigan siendo Dedekind-infinitos. Por lo tanto, no hay motivo para esperar que el argumento anterior se pueda utilizar para algo significativamente más fuerte.

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Aquí hay algo agradable en lo que reflexionar mientras caminas en un parque.

Supongamos que $\sf KWP_1$ y para un conjunto $x$ sea $\kappa_x$ el menor tal que $x$ se mapea en $\mathcal P(\kappa_x)$. Supongamos que se cumple lo siguiente: $\kappa_x<\aleph(x)$ para todo $x$. Entonces se cumple $\sf TC$.

Para ver esto, simplemente reemplace $x$ con una copia en $\mathcal P(\kappa_x)$, y dado que $\kappa_x+x=x$, como es Dedekind-infinito, podemos asumir que dicha copia también contiene $\kappa_x$ en sí misma.

Entonces, en primer lugar, esto parece ser lo suficientemente flexible como para extenderse a $\sf KWP_\alpha$, con algunas advertencias obvias de que necesitamos tener más condiciones sobre cómo se comporta la copia con respecto a agregar subconjuntos de un rango Kinna-Wagner inferior. Esto podría terminar siendo un poco demasiado complicado.

En segundo lugar, ¿es esto consistente sin elección en absoluto? Parece probable, presumiblemente si violamos la elección en los reales de una manera que preserve $\sf KWP_1$, esto debería funcionar. Pero no tengo una prueba lista.

Answer 3

Después de pensarlo, la versión de Löwenheim-Skolem utilizada a continuación parece implicar AC. Por lo tanto, este límite superior es trivial.

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Un límite superior es el Teorema de Löwenheim-Skolem hacia abajo más que todo conjunto infinito es Dedekind infinito.

Dado un conjunto infinito $X$. Sea $\mathcal{L}_X$ el lenguaje que contiene $=$, $\in$, y un símbolo constante para cada elemento de $X$. Sea $M$ el cierre transitivo de $X$ visto como un modelo de $\mathcal{L}_X$ donde cada constante se interpreta por el elemento correspondiente de $X$. Dado que $|X| + \omega = |X|$, el Teorema de Löwenheim-Skolem hacia abajo dice que $M$ tiene un submodelo elemental $N$ con $|N| \leq |X|$. En realidad, debemos tener $|N| = |X|$ ya que las constantes son distintas. Dado que $N \vDash$ extensionalidad, $N$ es isomorfo a su colapso de Mostowski $T$. Este $T$ es un conjunto transitivo con $|T| = |X|$.

Answer 4

Anteriormente había hecho esta pregunta en relación con una definición de cardinalidad que di entonces como: La cardinalidad de un conjunto $x$ es el conjunto de todos los conjuntos equinuméricos con $x$ teniendo todos los elementos en sus clausuras transitivas siendo estrictamente subnuméricos a $x$.

$\sf ZF$ demuestra que para cada conjunto $x$ hay un conjunto $\overset x \nabla$ de todos los conjuntos estrictamente subnuméricos a $x$ teniendo cada elemento en sus clausuras transitivas siendo estrictamente subnuméricos a $x$. Pero, no demuestra la existencia de una inyección de $x$ a $\overset x \nabla$ . Pero, con tu principio $\sf TC$ claramente esto funciona. Pero, no estoy seguro si es equivalente a ello.