Un simple problema de la ecuación de un plano.

Question

Dados dos planos

$$x-y+z=5 , \hspace{0.5cm}x+y+z=3 $$

Su intersección es una línea $l$. Encuentra la ecuación de un plano tal que la línea $l$ sea perpendicular a ese plano requerido y este plano pase por el $(0,0,0).

Mi intento: Resuelvo el sistema $$x-y+z=5, \hspace{0.5cm}x+y+z=3 $$ y obtengo $x+z=4$ que es la normal del plano requerido por lo que la ecuación del plano requerido debe ser $$x+z+d=0$$ después de sustituir $(0,0,0)$ obtengo $\hspace{0.2cm}x+z=0$.

Así que mi respuesta es $$\hspace{0.2cm}x+z=0$$

¿Estoy en lo correcto o no? Si tienes otro método, por favor dime.

Gracias

Answer 1

Se debe tener en cuenta que $l$ está en la dirección del producto cruzado de la normal de los primeros dos planos.

$$\begin{align}\text{Dirección} &= \left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{c}-2\\0\\2\end{array}\right)\\ &\equiv\left(\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right)\end{align}$$

Dado que el tercer plano pasa por $(0, 0, 0)$ y es perpendicular a $l$, podemos definir el tercer plano como

$$\left(\vec{r} - \left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right) = 0$$ $$\vec{r} \cdot\left(\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right) = 0$$

En forma cartesiana, esto es simplemente $$-x + z = 0$$