Q1: No existe tal partición. Sea $\langle X_n \rangle$ una partición numerable de $\mathbb{R}.$ Construiremos $n,$ un intervalo abierto $I,$ y una inyección $g: \omega \rightarrow I \cap X_n$ con $\text{rng}(g)$ denso en $I.$ Construimos recursivamente $\langle (p_{\alpha}, S_{\alpha}): \alpha<\omega_1 \rangle,$ con $p_{\alpha} \in \mathbb{R}$ y $S_{\alpha}=\{p_{\xi}: \xi<\alpha\}.$ En la etapa $\alpha,$ si para algún $n,$ $X_n \cap S_{\alpha}$ es densamente ubicado, entonces $p_{\alpha}=0.$ De lo contrario, seguimos el procedimiento de la demostración del teorema de la categoría de Baire (con respecto a una base $\langle U_k \rangle$ de intervalos abiertos racionales) para construir $$p_{\alpha} \in \mathbb{R} \setminus \left ( 0 \cup \bigcup_{n<\omega} \overline{X_n \cap S_{\alpha}} \right ).$$
Consideremos el ordinal límite $\beta = \{\alpha<\omega_1: p_{\alpha} \neq 0\}.$ Definimos un mapa parcial sobreyectivo $h: \omega^2 \rightharpoonup \beta$ estableciendo que $h(k, n) = \alpha$ si $\alpha$ es el valor más bajo tal que $p_{\alpha} \in U_k \cap X_n.$ En particular, $\beta$ es numerable, y menor tal que $p_{\beta}=0.$ Sea $(n, k)$ el mínimo lexicográfico tal que $X_n \cap S_{\beta}$ es denso en $U_k.$ Luego establecemos que $I=U_k$ y utilizamos $h$ para construir una inyección biyectiva $g: \omega \rightarrow X_n \cap S_{\beta} \cap I.$
Q2: De hecho, en el modelo de Cohen existe una partición de $\mathbb{R}$ en dos conjuntos de cardinalidad estrictamente menor. El conjunto de Bernstein $B$ en el Teorema 1.7 aquí funciona, mediante un ligero ajuste de su argumento. Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ inyectiva, y $b \in [A]^{<\omega}$ el parámetro mínimo desde el cual es constructible $f$. Luego llevamos a cabo su argumento en términos de $f$ y $b$ en lugar de $T$ y $a$ para mostrar que $B \cap \text{rng}(f)$ y $B \setminus \text{rng}(f)$ no están vacíos.
Q3&4: Consistentemente, $\mathbb{R}$ es una unión finita de Dedekind de pares. Comenzamos en $L,$ sea $G=\langle c_{\alpha}: \alpha<\omega_1 \rangle$ una secuencia genérica de $L$ de reales de Cohen. En $L[G],$ sea $A=\{c_{\alpha}: \alpha<\omega_1\}$ y $$R=\bigcup_{a \in [A]^{<\omega}} \mathbb{R}^{L[a]}.$$
Sea $\pi=(\pi_1, \pi_2) \in L$ la biyección estándar de $\omega_1 \rightarrow \omega_1^2.$ Particionamos $A$ definiendo $A_{\alpha}=\{c_{\xi}: \xi \in \pi_1^{-1}(\alpha)\}.$ Sea $$M=L(R, \langle A_{\alpha}: \alpha<\omega_1\rangle).$$ Mostraremos que $M$ posee nuestra propiedad deseada.
Reclamación: $R=\mathbb{R}^M.$
Prueba de la reclamación: Fijemos $r \in \mathbb{R}^M.$ Existe $\varphi,$ un ordinal $\gamma,$ y $a=\{c_{\alpha_0}< \ldots tal que, tomando $G'=G \restriction \omega_1 \setminus \{\alpha_j\},$ para todo $n<\omega$ se tiene que
\begin{align*}n \in r &\Leftrightarrow M \models \varphi(n, \gamma, c_{\alpha_0}, \ldots, c_{\alpha_i}, \langle A_{\alpha} \rangle) \\&\Leftrightarrow L[G] =L[c_{\alpha_0}, \ldots, c_{\alpha_i}][G'] \models \varphi^{L(R, \langle A_{\alpha} \rangle)}(n, \gamma, c_{\alpha_0}, \ldots, c_{\alpha_i}, \langle A_{\alpha} \rangle) \\&\Leftrightarrow L[c_{\alpha_0}, \ldots, c_{\alpha_i}] \models \text{Add}(\omega, \omega_1 \setminus \{\alpha_j\}) \Vdash \varphi^{L(R, \langle A_{\alpha} \rangle)}(n, \gamma, c_{\alpha_0}, \ldots, c_{\alpha_i}, \langle A_{\alpha} \rangle), \end{align*} la última implicación hacia adelante justificada por un argumento estándar de homogeneidad de Cohen, usando la invarianza de $R$ y $\langle A_{\alpha} \rangle$ bajo permutaciones preservadoras de $\pi_1$ de $\omega_1.$
Entonces, $r \in \mathbb{R}^{L[c_{\alpha_0}, \ldots, c_{\alpha_i}]} \subset R.$ Esto prueba la reclamación. $\square$
Supongamos que algún $r \in R$ codifica una secuencia inyectiva $\langle c_n: n<\omega \rangle \subset A.$ Luego $\{c_n\} \subset L[a]$ para algún $a \in [A]^{<\omega},$ contradiciendo la genéricidad mutua de los reales de Cohen.
Por lo tanto, $A$ es finito de Dedekind en $M,$ lo que implica que $[A]^{<\omega} \subset [\mathbb{R}]^{<\omega} \equiv \mathbb{R}$ también es finito de Dedekind. Definimos una sobreyección $f: [A]^{<\omega} \setminus \{\emptyset\} \rightarrow R$ enviando $a$ con $\max a \in A_{\alpha}$ al real en $L[a \setminus \{\max a\}].$ Luego
$$R=\bigcup_{a \in \text{dom} f \subset \mathbb{R}} \{a, f(a)\chi_{f^{-1}(\mathbb{R} \setminus \text{dom} f)}(a)\}$$ es como se deseaba.
