Frente a álgebra de Clifford

Question

un simétrico bilinearform $\beta$ en un $\mathbb{K}$-vectorspace $V$ el Clifford álgebra asociado $Cl(\beta)$ es la álgebra asociativa con unidad de sujeto a las relaciones $$v\cdot v=\beta(v,v)\cdot 1\qquad\forall v\in V.$$It is then often said that $ Cl(-\beta) $ is isomorphic to the opposite Algebra $ Cl (\beta) ^ \text {op} $. ¿Por qué es?

Saludos, Roberto

Answer 1

En primer lugar, se necesita atención! Tenemos el derecho noción de "op", porque, he aquí $Cl(1) \simeq \mathbb{R}^2 \not\simeq \mathbb{C} \simeq Cl(-1)$, que como álgebras son tanto conmutativa!

Más de $\mathbb{R}$, las álgebras de Clifford surgen naturalmente en el trenzado de monoidal simétrica categoría de $\mathbb{Z}/2$-graduada de espacios vectoriales, o "super-espacios vectoriales" (alternativamente,...), como (super-)tensor de productos básicos de la álgebras $\mathbb{R}[\varepsilon]$ $\mathbb{R}[i]$ donde $\varepsilon$ $i$ denotar impar de raíces de $\pm 1$.

Como normal, espacios vectoriales, hay un isomorfismo $$ \tau : A \otimes B \to B \otimes A, $$ y necesitas algo como esto para hacer un álgebra de $A\otimes B$, dado el álgebra estructuras en $A$ $B$ por separado: $$ (A\otimes B) \otimes (A\otimes B) \overset{A\otimes \tau\otimes B}\longrightarrow (A\otimes A)\otimes(B\otimes B) \overset{m_A\otimes m_B}\longrightarrow A \otimes B .$$ Averiguar diferentes maneras de definir a $\tau$ puede ser confuso al principio, pero te acostumbrarás.

Ahora, en lo ordinario, espacios vectoriales, el "frente" del producto $m^{op}$ se deriva de $m$ pre-composición con la transpuesta de a $A\otimes A$: $$ m^{op} = A\otimes A \overset{\tau}\to A\otimes A \overset{m}\to A, $$ y la misma expresión es el "camino correcto" para definir el contrario la multiplicación por un superalgebra; sólo el $\tau$ significa algo un poco diferente para superspaces vs para el común de los espacios vectoriales.

Así, los ejercicios para comenzar a entender $\tau$, y, a continuación, para comprobar que $m_{-1}^{op} = m_1 $ y vice-versa --- o, la comprensión de $\tau$, para llevar a cabo el cálculo sobre álgebras de clifford en todos los casos.

Mi favorito de referencia para superalgebras es Trimble notas, pero ahora que he leído las palabras "simétrica" y "trenzado" y "monoidal" juntos, usted puede ir a la excavación. Divertirse!

Answer 2

Existen diferentes convenciones para álgebras de Clifford, que es confuso. Si entiendo correctamente tu pregunta. Si la Convención de la forma bilineal es

$ v . v = \beta(v,v)\cdot 1\qquad\forall v\in V $

entonces el álgebra se denota como $\mathcal{Cl}_{p,q}$.

En el Convenio contrario

$v. v = - \beta(v,v)\cdot 1\qquad\forall v\in V $

es equivalente a la álgebra $\mathcal{Cl}_{q,p}$.