Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$. ¿Debe $G$ contener un subgrupo isomorfo a $G/N$? Mi primera suposición es que no, pero por el teorema fundamental de los grupos abelianos es cierto para grupos abelianos finitos, así que encontrar un contraejemplo ha sido un poco difícil. El caso finito también es interesante para mí.
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Para un contraejemplo finito, echa un vistazo a la estructura de subgrupo de los cuaterniones, un grupo no abeliano de orden $8$.
Por inspección, es sencillo verificar que $Q/Z(Q)\simeq V_4$, el grupo de Klein. Sin embargo, los únicos subgrupos de $Q$ de orden $4$ son $\langle i⟩\simeq\langle j⟩\simeq\langle k⟩\simeq\mathbb{Z}/(4)$. Por lo tanto, $Q$ no tiene un subgrupo isomorfo a $Q/Z(Q)$.
alumb
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Sea $G$ el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ bajo la adición. Sea $N$ el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$ bajo la adición. $G/N$ es el grupo de los reales módulo 1. Esto tiene un elemento no nulo cuyo cuadrado es 1, la clase de equivalencia de $0.5$. Así que $G/N$ no es isomorfo a ningún subgrupo de $G.
