Análisis real del polinomio de Taylor

Question

Tengo una función aleatoria $f(x)$. No sé nada sobre la forma de la función, pero sé

• $f'(x)$ existe, $x \in \mathbb{R}$
• $f(3)=1$, $f'(3)=5$, $f''(3)=7, f''''(3)=3$
• Si $x\in (3,6)$, entonces $f'(x) \in[1,5]$
• $-3\leq f''(x)\leq 9, \forall x \in \mathbb{R}$
• $-4 \leq f'''(x) \leq -1, \forall x \in \mathbb{R}$

Entonces, teniendo esta información, ¿cómo determino el polinomio de Taylor de segundo grado, $T_{2, 3}$ para esta función? Conozco el valor de $f'(3)$ hasta $f''''(3)$, lo cual es perfecto para esta pregunta. Pero ¿el teorema del polinomio de Taylor requiere que la función sea diferenciable en todas partes para que funcione correctamente? ¿Necesito demostrar eso primero, y cómo debo demostrarlo?

También, ¿cómo encontramos el límite superior para el error usando $T_{2,3}$ para f(5)? Usar el teorema del resto de Taylor está bien, pero ¿qué puntos debería elegir para $f'''(c)$?

Answer 1

Polinomio de Taylor de segundo grado: $1+5(x-3)+\frac{7}{2}(x-3)^2$

Límite superior en el error para $f(5)$: $\frac{16}{3}$

Ya sabemos que la función es diferenciable en todas partes, porque $f'(x)$ existe $x \in R$

Debido a que la función es diferenciable, podemos escribir su expansión de la serie de Taylor (centrada en 3 porque allí conocemos las derivadas, y hasta un grado de 2 porque solo estamos tratando de encontrar el polinomio de Taylor de segundo grado).

$f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2=1+5(x-3)+\frac{7}{2}(x-3)^2$

Para encontrar el límite superior en el error, usamos la Fórmula del Resto de Taylor:

si $\left|f^{(k+1)}(z)\right|\leq M$ para todo z entre x y a, entonces $$\left|R_k(x)\right|\leq \frac{M}{(k+1)!}|x-a|^{k+1}$$ Donde $R_x$ es el error en la aproximación

Entonces en nuestro caso $k=2$, $\left|f^{(3)}(z)\right|\leq M = 4$ (porque $-4 \leq f'''(x) \leq -1, \forall x \in \mathbb{R}$), $x=5$, y $a=3$, entonces $$\left|R_2(x)\right|\leq \frac{4}{(2+1)!}|5-3|^{2+1}=\frac{16}{3}$$