Primero definamos la propiedad de disminución de la variación para el núcleo Gaussiano. Considere una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que es suficientemente suave y defina \begin{align} F(x)= \int_{-\infty}^\infty f(t)\, \phi(x-t) {\rm d} t, \end{align} donde $\phi(t)=\exp(-t^2)$. Entonces, la propiedad de disminución de la variación dice que \begin{align} S(F) \le S(f) , \end{align} donde la cantidad $S(g)$ denota el número de cambios de signo de una función $g$. Nota: Esta propiedad no solo se cumple para núcleos Gaussianos, sino para una gran clase de núcleos llamados funciones de frecuencia Polya.
Pregunta: Estamos interesados en cuáles son algunas formas adecuadas de generalizar esta propiedad a configuraciones multivariadas y contar el número de cambios de signo de $F$, y si tales generalizaciones están disponibles en la literatura?
Más específicamente, estamos interesados en una configuración
\begin{align} F( u )= \iint_{\mathbb{R}^2}f({\bf t}) \, \phi({\bf r}(u)-{\bf t}) {\rm d} {\bf t} \end{align} donde ${\bf r}(u)$ es un camino en $\mathbb{R}^2$ donde ahora $\phi ({\bf t})=\exp(-\|{\bf t}\|^2)$. El objetivo es proporcionar un límite en el número de cambios de signo de $F$ usando algunas propiedades de $f$ y ${\bf r}$. En el caso univariado, estas propiedades corresponden a los cambios de signo de $f$.
Algunas Ideas: He buscado en la literatura y no pude encontrar ninguna generalización multivariada. Por ejemplo, encontré una generalización al caso donde en lugar de convolución tenemos una transformación más general (es decir, $\int_{-\infty}^\infty f(t) k(x,t) {\rm d} t$).
Sospeché que la generalización a un caso de vector completo, es decir, \begin{align} F( {\bf u} )= \iint_{\mathbb{R}^2}f({\bf t}) \phi({\bf u}-{\bf t}) {\rm d} {\bf t} \end{align} es difícil ya que necesitamos definir una noción de cambios de signo en $\mathbb{R}^2$. Sin embargo, en este problema el dominio de $F( u )$ es unidimensional, por lo que creo que es un poco más fácil, y la noción de cambios de signo está bien definida para $F$. La dificultad, sin embargo, está en cómo generalizar la noción de cambios de signo a $f$ o tal vez se necesita alguna otra propiedad.
