$a,b,c$ son números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Demuestra que: $$\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2} \geqslant \dfrac{1}{2} $$ He intentado con la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la forma de Engel...
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Tenemos $\frac{ab^2}{a^2 +b^2}\leq \frac{b}{2} ,\frac{bc^2}{c^2 +b^2}\leq \frac{c}{2} ,\frac{ca^2}{c^2 +a^2}\leq \frac{a}{2}$ por lo tanto $$\frac{a^3}{a^2 +b^2} +\frac{b^3}{c^2 +b^2} +\frac{c^3}{a^2 +c^2} =a+b+c - \left(\frac{ab^2}{a^2 +b^2}+\frac{bc^2}{c^2 +b^2}+\frac{ca^2}{c^2 +a^2}\right) \geq \frac{a+b+c}{2}.$$
Michael Rozenberg
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$$\sum_{cic}\frac{a^3}{a^2+b^2}-\frac{1}{2}=\sum_{cic}\frac{a^3}{a^2+b^2}-\frac{a+b+c}{2}=\sum_{cic}\left(\frac{a^3}{a^2+b^2}-\frac{a}{2}\right)=$$ $$=\sum_{cic}\frac{a^3-ab^2}{2(a^2+b^2)}=\sum_{cic}\left(\frac{a^3-ab^2}{2(a^2+b^2)}-\frac{a-b}{2}\right)=\sum_{cic}\frac{(a-b)^2b}{2(a^2+b^2)}\geq0.$$ Realizado!
