¿Es siempre cierto que $\mathrm{int}(\ A \setminus \mathrm{int}(A)\ ) = \emptyset$?

Question

Deje $(X,d)$ ser cualquier espacio métrico? Deje $A$ ser algún subconjunto de $X$.

Es cierto siempre que $\mathrm{int}(\ A \setminus \mathrm{int}(A)\ ) = \emptyset$?

Yo creo que esta declaración es falsa, y que para algunos wonky la situación anterior no se puede sostener.

Pensé en dejar a $X=\mathbb{R}^{2}$ y dejando $d$ ser definido por $d(x,y)=\|x-y\|$ (Euclidiana).

A continuación, tal vez tomando $A$ a ser algunos desconectado? Como $A = B\big((0,0), 1\big)\cup \{ (21,9) \}$. Me encuentro con que:

$\mathrm{int}(A)=B\big((0,0), 1\big)$

$A \setminus \mathrm{int}(A) = A \setminus B\big((0,0), 1\big) = \{ (21,9) \}$

$\mathrm{int}(\ A \setminus \mathrm{int}(A)\ ) = \mathrm{int}(\ \{ (21,9) \}\ ) = \emptyset$

Así que mi ejemplo no funciona, lamentablemente, pero quizá funcione si me tome $d$ a ser la distancia discreta o algo por el estilo? Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Supongamos que $x\in\operatorname{int}(A\setminus\operatorname{int}(A))$. Por definición del interior, hay un barrio abierto $U$ %#% en $x$ #%. Entonces $A\setminus\operatorname{int}(A)$ también se encuentra en $U$, $A$ es un punto interior de $x$. Por lo tanto, $A$ es no en $x$ y ciertamente no en su interior, una contradicción.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\operatorname{int}\bigl(A\setminus\operatorname{int}(A)\bigr)$ está abierto. Además, es un subconjunto de $A\setminus\operatorname{int}(A),$ por lo que es un subconjunto de $A$. Sin embargo, puesto que es entonces un subconjunto abierto de $A,$ tiene que ser un subconjunto de $\operatorname{int}(A).$ por lo tanto, es un subconjunto de $$\bigl(A\setminus\operatorname{int}(A)\bigr)\cap\operatorname{int}(A),$ $ y asi...

Answer 3

Si $U$ es un conjunto abierto de $X$ y $U\subseteq A$ y $U\subseteq \mathrm{int}(A)$. ¿Así es posible $U\subseteq A\setminus \mathrm{int}(A)$ abierto?