Correspondencia entre los ideales de un anillo de valoración y el grupo de valores

Question

Estoy leyendo notas del seminario de teoría de números de Stanford. Encontré el siguiente ejercicio, publicando la versión abreviada:

Sea $R$ un anillo de valoración con cuerpo de fracciones $K$. Sea $\Gamma := \Gamma_R = K^{\times}/R^{\times}$ el grupo de valores de $R$, y $v$ la valoración en $K$ dada por reducción módulo $R^\times$. Considera la aplicación $M_I:= I \mapsto v(I \backslash \{0\})$

Dejamos para el lector como ejercicio demostrar que esta es una biyección que preserva la inclusión del conjunto de ideales de $R$ en el conjunto de submonoides $M \subset _{\le 1}$ tal que $m \in M, \gamma \le m \Rightarrow \in M$

Este ejercicio me ha derrotado: ¿cómo debería pensar en demostrarlo?

Answer 1

Estas son solo las definiciones, no hay nada que probar.

La palabra submonoide es inútil, cualquier subconjunto $M$ de $v(R)$ que satisface $m \in M, \gamma\in v(R),\gamma \ge m \Rightarrow γ \in M$ representa el ideal $\{ a\in R,v(a)\in M\}$.

$v(R)$ está totalmente ordenado por definición de "anillo de valoración", si $a,b\in R-0$ entonces o bien $a/b$ o $b/a$ está en $R$,

$v$ es la función $K^\times \to K^\times/R^\times$ extendida con $v(0)=\infty$ y el orden $v(b)\ge v(a)$ si $b \in a R$.