Su demostración está bien cuando se sitúa en el marco apropiado.
Aunque puede que no sea aceptado en el contexto de una clase, creo que la mejor manera de manejar este problema es usar la línea real extendida $\bar{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty,\infty\}$ donde podemos ordenar este conjunto de manera obvia y definir el ínfimo y supremo a partir del orden, y de igual manera, se pueden definir intervalos abiertos como de costumbre, con la observación de que los intervalos de la forma $(-\infty,x)$ son intervalos honestos en esta vista que coinciden con las definiciones habituales. La importancia de este cambio es que cada conjunto tiene un supremo e ínfimo en los reales extendidos - por lo que no es necesario preocuparse por la limitabilidad en absoluto.
Básicamente, con este cambio de contexto, simplemente afirmas que tienes algún subconjunto de $\mathbb R$ y dejas que $a_x$ y $b_x$ sean el ínfimo y supremo de ese conjunto en $\bar{\mathbb R}$, y luego terminas tu argumento exactamente como lo hiciste, excepto que podrías, por completitud, observar que si $a_x$ y $b_x$ son reales, no están en el conjunto por las razones que has observado, y si no lo son, no están en el conjunto porque el conjunto es un subconjunto de $\mathbb R$.
A menudo se encuentra que las preguntas de análisis como esta son mucho más claras si se trabaja con $\pm \infty$ dentro del dominio de las matemáticas, en lugar de, como es común, decir que cada expresión que involucra $\infty$ está especialmente definida y requiere un análisis de casos - porque a menudo los reales extendidos unifican la teoría sin necesidad de trabajo adicional.
