Este problema me está volviendo loco. Es de los Desafíos de la Olimpiada Matemática de Andreescu:
Sea $AB$ una cuerda en un círculo y $P$ un punto en el círculo. Sea $Q$ la proyección de $P$ en $AB$ y $R$ y $S$ las proyecciones de $P$ en las tangentes al círculo en $A$ y $B$. Demuestra que $PQ$ es la media geométrica de $PR$ y $PS$.
La solución dada es la siguiente:
Vamos a demostrar que los triángulos $PRQ$ y $PQS$ son similares. Esto implica que $PR/PQ = PQ/PS$; por lo tanto, $PQ^2 = PR\cdot PS$.
Los cuadriláteros $PRAQ$ y $PQBS$ son cíclicos, ya que cada uno tiene dos ángulos rectos opuestos. En el primer cuadrilátero $\angle PRQ=\angle PAQ$ y en el segundo $\angle PQS = \angle PBS$. Por ángulos inscritos, $\angle PAQ$ y $\angle PBS$ son iguales. Se deduce que $\angle PRQ = \angle PQS$. Un argumento similar muestra que $\angle PQR=\angle PSQ$. Esto implica que los triángulos $PRQ$ y $PQS$ son similares, y se sigue la conclusión.
Ahora, ¿cómo es que por ángulos inscritos $\angle PAQ=\angle PBS$? Esos dos no abarcan cuerdas en el mismo círculo, y he intentado usar el seguimiento de ángulos para encontrar sus valores, pero incluso si considero el cuadrilátero cíclico más grande con vértices $P,R,S$ y la intersección de las tangentes de $A$ y $B$, los dos no abarcan ninguna cuerda en común.
¿Alguien puede iluminar a esta alma torturada? He estado persiguiendo ángulos durante el último mes y hasta me persiguen en mis sueños.
