Utilice el teorema multinomial para expandir $(x+y+z)^4$.
Para calcular el número de términos, se aplica la siguiente fórmula: $\binom{n+r-1}{n}$. Aquí $n=4$ y $r=3$. Así que $\binom{6}{4}=15$. No entiendo cómo obtienen $15$ términos.
El Teorema Multinomial establece:
$(x_1+\cdots+x_r)^n = \sum\limits_{n_1+...+n_r = n}\binom{n}{n_1,...,n_r}\cdot x_1^{n_1} \cdots x_r^{n_r}$.
La suma se realiza sobre todas las posibles particiones $n_1,...,n_r$ tal que $n_1+...+n_r=n$
Solo hay $3$ conjuntos de números para obtener $n=4$:
1. $(4,0,0) \implies$ Aquí hay $3$ objetos pero $2$ son iguales. Entonces hay $3!/2! = 3$ permutaciones
2. $(3,1,0) \implies 3! = 6$ Permutaciones
3. $(2,2,0) \implies 3!/2! = 3$
$3+6+3 = 12$.
Así que por ejemplo, para el primer ítem tendrías: $\binom{4}{4,0,0} x^4 y^0 z^0 + \binom{4}{0,4,0} x^0 y^4 z^0 + \binom{4}{0,0,4} x^0 y^0 z^4$
Para el ítem $2\\$:
$(3,0,1), (3,1,0), \\ (1,3,0), (0,3,1), \\ (1,0,3), (0,1,3)$
Para el ítem $3\\$: $(2,2,0), (0,2,2,), (2,0,2)$
¿Cuáles son los otros $3$ términos? ¡Gracias!
