Usar el Método de las Características para encontrar $u=(x_1,x_2)$ que satisface esta EDP cuasilineal.

Question

Se me dio una ecuación en derivadas parciales quasilineal de primer orden $uu_{x_1} + u_{x_2} = 1$ que tiene la condición de Cauchy $u(x_1,x_1) = \frac 12 x_1$. Y se me pide encontrar $u=(x_1,x_2)$ que satisface esta ecuación en derivadas parciales.

Mi intento es:

Usando la fórmula del problema de Cauchy $a_1(x_1,x_2)u_{x_1} + a_2(x_1,x_2)u_{x_2}=b(x_1,x_2,u(x_1,x_2)) obtengo que los coeficientes son $a_1 = u$, $a_2 = 1$, $b=1$

Luego procedo a parametrizar la curva de Cauchy $\gamma (s) = (x_{1_0}(s), x_{2_0}(s)) = (s,0)$

Esto lleva a $z_0(s) = u_0(x_{1_0}(s), x_{2_0}(s)) = \frac s2$

$\tilde x_{1_\tau} = a_1(\tilde x_1,\tilde x_2, \tilde z)=\tilde z$, $\tilde x_{2_\tau} = a_2(\tilde x_1,\tilde x_2, \tilde z)=1$, $\tilde z_\tau = b(\tilde x_1,\tilde x_2, \tilde z)=1$

De estas 3 ecuaciones obtengo que $\tilde z = \tau + A(s)$ donde $A(s)$ es una constante. Luego encuentro $\tilde x_2 = \tau + B(s)$ donde $B(s)$ es una constante. Finalmente obtengo $\tilde x_1 = \frac {\tau^2}2 + \frac {s\tau}2 +C(s)$ donde $C(s)$ es una constante.

Usando las condiciones iniciales especificadas anteriormente obtengo $\tilde z = \tau + \frac s2$, $\tilde x_2 = \tau$ y $\tilde x_1 = \frac {\tau^2}2 + \frac {s\tau}2 +s$

He llegado hasta este punto, pero no estoy seguro de si lo que he hecho hasta ahora es correcto, o cuál sería el siguiente paso a seguir.

Cualquier pista o ayuda sería genial. Gracias.

Sé que esta pregunta ha sido respondida en otro lugar, sin embargo el método que utilizaron fue diferente al que intenté usar. Me está costando seguir el otro método, por lo que todavía estaría agradecido si alguien pudiera ayudarme

Answer 1

Siga el método en http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics#Example:

$\dfrac{dx_2}{dt}=1$, tomando $x_2(0)=0$, obtenemos $x_2=t$

$\dfrac{du}{dt}=1$, tomando $u(0)=u_0$, obtenemos $u=t+u_0=x_2+u_0$

$\dfrac{dx_1}{dt}=u=t+u_0$, tomando $x_1(0)=f(u_0)$, obtenemos $x_1=\dfrac{t^2}{2}+u_0t+f(u_0)=\dfrac{x_2^2}{2}+(u-x_2)x_2+f(u-x_2)=x_2u-\dfrac{x_2^2}{2}+f(u-x_2)$, es decir, $u-x_2=F\left(x_1-x_2u+\dfrac{x_2^2}{2}\right)$

$u(x_1,x_2=x_1)=\dfrac{x_1}{2}$:

$F(x_1)=-\dfrac{x_1}{2}$

Por lo tanto, $u-x_2=-\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{x_2u}{2}-\dfrac{x_2^2}{4}$

$4u-4x_2=-2x_1+2x_2u-x_2^2$

$(2x_2-4)u=2x_1+x_2^2-4x_2$

$u=\dfrac{2x_1+x_2^2-4x_2}{2x_2-4}$