¿Por qué está escrito el derivado 2 $\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}$?

Question

En la notación de Leibniz, se escribe el derivado 2 $$\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\ ?$ $

¿Por qué es la ubicación del $2$ en diferentes lugares en los términos de $\mathrm dy/\mathrm dx$?

Answer 1

Sencillamente,

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}(y)\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d\,dy}{dx\,dx} = \frac{d^2 y}{dx^2} $$

Answer 2

En lo puramente simbólico, si aceptamos que el $dy = f'(x)\,dx$, y el tratamiento de $dx$ como una constante, entonces $$d^2y = d(dy) = d(f'(x)\,dx) = dx\,d(f'(x)) = dx\,f''(x)\,dx = f'(x)\,(dx)^2,$$ así, dividiendo la producción: $$\frac{d^2y}{(dx)^2} = \frac{d^2y}{dx^2} = f''(x).$$

En cuanto a donde esta notación en realidad proviene de: Mi conjetura es que se trata de un tiempo cuando los matemáticos principalmente el pensamiento de $dx$ $dy$ "cantidades infinitesimales." Hay formas de hacerlo con rigor (a través de la no-estándar de análisis), y tal vez hay una manera de hacer esta notación rigurosa de esa manera.

---

Sin embargo, todavía podemos dar riguroso sentido a estos cálculos, sin apelar a la no-estándar de análisis mediante el lenguaje de formas bilineales.

Si $f$ es diferenciable, podemos definir un mapa $$df\colon \mathbb{R} \to L(\mathbb{R}; \mathbb{R})$$ via $$df(x)(dx) = f'(x)\,dx.$$ Here, $L(\mathbb{R};\mathbb{R})$ denotes the set of linear maps from $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, and $dx$ is simply a real number. Going one step further, we can consider the map $$d^2f = d(df)\colon \mathbb{R} \to L(\mathbb{R};L(\mathbb{R};\mathbb{R})).$$ Mediante la identificación de $L(\mathbb{R}; L(\mathbb{R}; \mathbb{R}))$$B(\mathbb{R} \times \mathbb{R};\mathbb{R})$, obtenemos un bilineal mapa $$d^2f(x)(dx^1, dx^2) = dx^1\, f''(x) \,dx^2$$ whose associated quadratic form is $$d^2f(x)(dx) = f''(x)\,(dx)^2.$$ Ahora es perfectamente legal para dividir a ambos lados de la $(dx)^2$, obteniendo $$\frac{d^2f}{dx^2} = f''(x).$$

Answer 3

El $d$ es destinado a representar el "cambio". Y la notación de Leibniz es la intención de recordar que usted está calculando la relación entre el cambio en la $y$ y el cambio en $x$.

Cuando usted toma la segunda derivada, cálculo de cómo el derivado está cambiando $x$ cambios; es decir, están tratando de calcular $$\frac{d(y')}{dx}.$$ Ahora, $y'$ es en sí mismo una tasa de cambio: es la velocidad a la que $y$ cambios. Así que el "numerador" de la diferencia de la notación está diciendo que usted está tratando de considerar el cambio en el cambio en $y$, no el cambio en $y^2$ (que es lo "$dy^2$" representa).

Así que usted está tratando de describir el cambio en "el-cambio-en-$y$", en relación a cómo $x$ está cambiando. $x$ es sólo el cambio de "una vez", así que debe tener una sola $d$ en el "denominador" (recuerde, no realmente un denominador). Entonces, ¿por $x^2$? Porque usted está tratando de averiguar el cambio de blah ($x$ cambios, y blah es una tasa de cambio como $x$ cambios así. Así que usted está tomando $x$ dos veces, pero teniendo en cuenta sólo uno de los cambios. Por lo tanto, de un solo $d$, pero $x$ cuadrado.

Answer 4

No hay manera posible de entender por qué Leibniz inventó la notación hizo a menos que usted piense acerca de cálculo de la forma en que Leibniz hizo, utilizando números infinitesimales.

Tomar la velocidad de la $dx/dt$. Leibniz habría descrito como el cociente de dos infinitesimals. (No estándar de análisis de muestra de que esta idea puede ser rigurosa, pero en cualquier caso, los límites no existen en Leibniz del tiempo.) El numerador es un número infinitesimal con unidades de metros. El denominador es un infinitesimal con unidades de segundos. Usted dividirlos, y da a los m/s.

En la aceleración, $d^2x/dt^2$, el numerador se escribe para sugerir algo con unidades de metros, y el denominador para sugerir unidades de segundos al cuadrado, dando a las unidades de m/s$^2$.