$\sum_{k=1}^{\infty} \int_{\frac 1{k+\beta}}^{\frac 1{k+\alpha}} \frac 1{1+x} dx=? $.

Question

Sea $0<\alpha<\beta <1$ entonces $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle \int_{\frac 1{k+\beta}}^{\frac 1{k+\alpha}} \frac 1{1+x} dx=? $

Intento $\int_{\frac 1{k+\beta}}^{\frac 1{k+\alpha}} \frac 1{1+x} dx=[\ln(1+x)] _{\frac1{k+\beta}} ^{\frac1{k+\alpha}}=\ln \frac {k+\alpha+1}{k+\alpha}-\ln \frac {k+\beta +1}{k+\beta}$
Después de esto estoy teniendo dificultades para encontrar la suma. Por favor, ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

CONSEJO: $\sum_{k=1}^{\infty}\ln\frac{k+\alpha+1}{k+\alpha}=\sum_{k=1}^{\infty}(\ln(k+\alpha+1)-\ln(k+\alpha))$. ¿Puedes ver qué desaparece ahora?