Dado un valor propio, evalúe $S*\tiny\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}$

Question

El valor propio se da como $\lambda = 2, -3, 5$..

$v_{1} = \begin{bmatrix} 1\\-3\\-2 \end{bmatrix}$ $v_{2} =\begin{bmatrix} -2\\7\\5 \end{bmatrix}$ $v_{2} =\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}$

A) ESCRIBE LOS VALORES DE Sv1, Sv2 y Sv3 por definición, estos son los valores propios multiplicados por el vector propio correspondiente (donde el valor propio 2 corresponde a --> $V_{1}$)

B) Sea $w=7v_{1}+3v_{2}+3v_{3}$ calcular w y SW Básicamente usé la multiplicación de constantes básicas por vectores y suma de vectores...

$$w = 7\begin{bmatrix} 1\\-3\\-2 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} -2\\7\\5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\-6\\4 \end{bmatrix}$$

Por la definición de un valor propio multiplicando el producto de S y su Vector Propio con un múltiplo constante entonces la respuesta es proporcional al valor propio normal y al factor.

$$Sw = 2*7\begin{bmatrix} 1\\-3\\-2 \end{bmatrix} + -3*3\begin{bmatrix} -2\\7\\5 \end{bmatrix}+5\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 32\\-105\\-78 \end{bmatrix}$$ ¿Es esto correcto?

c) Aquí es donde me pierdo. Dice "Al referirse a b u otra cosa, evalué $S*\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}$"

¿Cómo aplico los vectores propios aquí?

D) por lo tanto, encuentra la matriz S... ¡¿Qué?! ¿Cómo siquiera?

Answer 1

Pista

Escriba $(0,1,0)$ en términos de los autovectores, digamos $(0,1,0)=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3.$ Entonces

$$S(0,1,0)=a_1S(v_1)+a_2S(v_2)+a_3S(v_3)$$ donde conoces todos los términos en el RHS.

De manera similar, puedes obtener $S(1,0,0)$ y $S(0,0,1).$ Finalmente, ¿no es $S(1,0,0)$ la primera columna de $S?$

Answer 2

Si entendí bien, tienes una matriz $S$ que tiene autovalores $\lambda_1=2$, $\lambda_2=-3$ y $\lambda_3=5, con los eigenvectores correspondientes:

$v_{1} = \begin{bmatrix} 1\\-3\\-2 \end{bmatrix}$ $v_{2} =\begin{bmatrix} -2\\7\\5 \end{bmatrix}$ $v_{2} =\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}$

Por lo tanto, tu matriz es diagonalizable y es: $S= PDP^{-1}$ con: $$P= \begin{bmatrix} 1&-2&0\\ -3&7&0\\ -2&5&1 \end{bmatrix}$$ y

$$D= \begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&-3&0\\ 0&0&5 \end{bmatrix}$$ Entonces tienes la respuesta a D) y puedes encontrar la respuesta a C) evaluando el producto.