Operador, cerrado

Question

Consideramos el espacio de Hilbert concreto $L^{2}(E,m) = L^{2}(E,\mathcal{B},m)$ con el producto interno usual $(\cdot,\cdot)$ donde $(E,\mathcal{B},m)$ es un espacio de medida.

Para $u,v:E\to \mathbb{R}$, definimos \begin{eqnarray*} u\vee v:=\max(u,v),\,u\wedge v:=\min(u,v),\,u^{+}:=u\vee0,\,u^{-}:=-(u\wedge 0) \end{eqnarray*}

$\rm{\underline{Definición}}$ Un operador lineal cerrado definido densamente $L$ en $L^{2}(E,m)$ es llamado operador de Dirichlet si $(Lu,(u-1)^{+})\leq 0$ para todo $u\in D(L)

Quiero demostrar que el operador de Dirichlet es negativo definido, es decir $(Lu,u)\leq 0$ para todo $u\in D(L)$.

Dado que para todo $u \in D(L)$, $u=(u-1)^{+}+u\wedge 1$, \begin{eqnarray*} (Lu,u)&=&(Lu,(u-1)^{+}+u\wedge 1)\\ &=&(Lu,(u-1)^{+})+(Lu,u\wedge 1)\\ &\leq&0+(Lu,u\wedge 1)=(Lu,u\wedge1) \end{eqnarray*}

¿Qué debo hacer antes? Por favor, dame una pista.

Answer 1

Sea $u \in D(L)$ y note que para $r > 0$, la desigualdad que derivó también dice

$$ (Lu, u) = r^{-2} (L(ru), ru) \leq r^{-2} (L(ru), (ru) \wedge 1) = (Lu, u \wedge r^{-1}). $$

Llevando $r \to \infty$, $u \wedge r^{-1} \to -u^{-}$ en $L^{2}$. Esto da

$$ (Lu, u) \leq (Lu, -u^{-}) \quad \Longleftrightarrow \quad (Lu, u^{+}) \leq 0. $$

Ahora reemplace $u$ por $-u$. Entonces

$$ (Lu, -u^{-}) = (-Lu, (-u)^{+}) = (L(-u), (-u)^{+}) \leq 0. $$

Sumando estas dos desigualdades se obtiene la conclusión deseada $(Lu, u) \leq 0$.