Encontrar un ángulo de un triángulo en el modelo del semiplano superior dado tres puntos

Question

Se me han dado tres puntos en el semiplano superior $(i, 3i, 1 + 2i$), y una de las preguntas de la tarea es encontrar los ángulos del triángulo dado. Un problema anterior pide encontrar la longitud de los lados del triángulo, y luego también se me pide encontrar la medida de los ángulos del triángulo. ¿Estarían relacionados? Si no lo están, ¿cómo encontraría los ángulos?

Answer 1

Recuerda que las geodésicas en el modelo del semiplano superior de la geometría hiperbólica, $H$, son semicírculos centrados en la línea real y líneas verticales rectas con valor real constante. Intenta encontrar los arcos/segmentos de línea circulares/verticales que conectan tus tres puntos.

Otro punto que quizás te gustaría recordar es que el modelo del semiplano superior de la geometría hiperbólica en realidad conserva los ángulos de la geometría euclidiana del plano complejo $\mathbb{C}$. Esto significa que si puedes encontrar los ángulos del triángulo en el punto de intersección en el caso euclidiano, con los mismos bordes curvos *, entonces los ángulos serán los mismos en el caso hiperbólico, y ya has terminado. Ten en cuenta que en la geometría hiperbólica, existen triángulos con ángulos de cero (aunque cualquier vértice con ángulo de cero se encuentra en el límite de $H$, por lo que no se aplica a este problema).

¡Mi mayor consejo que te puedo dar para resolver este problema es dibujar imágenes!

* si una curva interseca a otra curva, su ángulo de intersección es la diferencia entre los ángulos de las líneas rectas tangentes a las curvas en su punto de intersección

Answer 2

... solo quería ver qué sucede cuando una pregunta de más de diez años recibe otra respuesta. La pregunta se encontró mientras se respondía a otra pregunta sobre geometría hiperbólica, también relacionada con el uso de álgebra computacional en tal situación, en particular sage, por lo que los resultados también se verificarán con sage.

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La imagen del triángulo con vértices $i$, $3i$, $1+2i$ es la siguiente:

Solo se debe considerar la parte en el semiplano superior $\Bbb H$. Los lados del triángulo hiperbólico son:

• el arco (euclidiano) desde $i$ hasta $1+2i$ en el círculo centrado en $2$ con radio $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt 5$,
• el arco (euclidiano) desde $1+2i$ hasta $3i$ en el círculo centrado en $-2$ con radio $\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt {13}$,
• el segmento (euclidiano) desde $3i$ hasta $i$ en la recta $Oy$.

Los ángulos del triángulo hiperbólico también se pueden extraer de la imagen euclidiana, trazamos tangentes a las geodésicas hiperbólicas (dos semicírculos y una línea en el mundo euclidiano), y medimos en el mundo euclidiano el ángulo entre ellas. Tenga en cuenta que si un ángulo $\alpha$ es igual a $\arctan t$, entonces $t=\tan\alpha$, luego $\cos^2 \alpha =\frac 1{1+t^2}$, $\sin^2 \alpha =\frac {t^2}{1+t^2}$.

• Por ejemplo, el ángulo marcado en $1+2i$ se puede calcular en el mundo euclidiano a partir del triángulo euclidiano con vértices $1+2i$, $7i/2$, $3i/2$. La tangente para el ángulo en $3i/2$ es (leyéndola en el triángulo con los otros dos vértices $0,-3$) igual a $3/(3/2)=2$. La tangente para el ángulo en $7i/2$ es (leyéndola en el triángulo con los otros dos vértices $1+2i,2i$) igual a $1/(3/2)=2/3$. Entonces, el ángulo marcado en $1+2i$ es: $$ \pi - \left(\arctan 2+\arctan \frac 23\right) =-\arctan\frac{2+\frac 23}{1-2\cdot \frac 23} =\arctan 8 =\arccos\frac 1{\sqrt {65}} =\arcsin\frac 8{\sqrt {65}} \approx 82.8749836510982\dots \ . $$
• De manera similar, calculamos el ángulo en $3i$ a partir del triángulo euclidiano con dos vértices en $0$, $9/2$, por lo que este ángulo es $$ \arctan \frac 32 =\arccos\frac 2{\sqrt{13}} =\arcsin\frac 3{\sqrt{13}} \approx 56.309932474020\dots\ . $$
• Y en $i$, utilizando el triángulo euclidiano con vértices en $0$, $-1/2$, es $$ \arctan\frac 12 =\arccos\frac 2{\sqrt5} =\arcsin\frac 1{\sqrt5} \approx 26.565051177078\dots\ . $$ $\square$

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De hecho, hay una conexión entre los ángulos y los lados, la ley hiperbólica de los cosenos. El lado $a$, opuesto al ángulo $A$ en un triángulo hiperbólico con lados $a,b,c$ y ángulos $A,B,C$ se da así: $$ a =\operatorname{arccosh} \frac {\cos A+\cos B\cos C}{\sin B\sin C}\ . $$ La fórmula alternativa para la distancia hiperbólica entre los puntos $z,w$ es $$ \operatorname{arccosh} \left(1+\frac{|z-w|^2}{2\Im z\Im w}\right)\ . $$ Entonces calculamos la longitud de uno de los lados de la siguiente manera: $$ \begin{aligned} \cosh \operatorname{distance}(i, 3i) &=\frac {\frac1{\sqrt{65}} + \frac 2{\sqrt {13}}\cdot\frac 2{\sqrt 5}} { \frac 3{\sqrt {13}}\cdot\frac 1{\sqrt 5}} =\frac {1+2\cdot 2}{3\cdot 1}=\frac 53\ ,\qquad\text{ o alternativamente} \\ \cosh \operatorname{distance}(i, 3i) &=1+\frac{|3i-i|^2}{2\cdot 1\cdot 3}=1 + \frac 23=\frac 53\ , \\[3mm] \cosh \operatorname{distance}(i, 1+2i) &=\frac {\frac 2{\sqrt {13}} + \frac1{\sqrt{65}}\cdot\frac 2{\sqrt 5}} { \frac 8{\sqrt {65}}\cdot\frac 1{\sqrt 5}} =\frac {2+\frac 25}{\frac 85}=\frac {12}8=\frac 32\ ,\qquad\text{ o alternativamente} \\ \cosh \operatorname{distance}(i, 1+2i) &=1+\frac{|1+2i-i|^2}{2\cdot 1\cdot 2}=1 + \frac 12=\frac 32\ , \\[3mm] \cosh \operatorname{distance}(3i, 1+2i) &=\frac {\frac 2{\sqrt 5} + \frac1{\sqrt{65}}\cdot \frac 2{\sqrt {13}}} { \frac 8{\sqrt {65}}\cdot\frac 3{\sqrt {13}}} =\frac {2+\frac 2{13}}{\frac {24}{13}} =\frac {28}{24}=\frac 76\ ,\qquad\text{ o alternativamente} \\ \cosh \operatorname{distance}(3i, 1+2i) &=1+\frac{|1+2i-3i|^2}{2\cdot 3\cdot 2}=1 + \frac 16=\frac 76\ . \end{aligned} $$

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Verificación computacional: Podemos verificar lo anterior de la siguiente manera:

H = HyperbolicPlane().UHP()
A, B, C = H.get_point(i), H.get_point(3*i), H.get_point(1 + 2*i)

AB = H.get_geodesic(A, B)
BC = H.get_geodesic(B, C)
CA = H.get_geodesic(C, A)

Con las definiciones anteriores, ahora podemos preguntar por:

sage: AB.length()
arccosh(5/3)

sage: BC.length()
arccosh(7/6)

sage: CA.length()
arccosh(3/2)

sage: AB.angle(BC)
arccos(2/13*sqrt(13))

sage: BC.angle(CA).simplify_full()
pi - arccos((sqrt(13) - 3)/(3*sqrt(13)*sqrt(5) - 13*sqrt(5)))
sage: bool( BC.angle(CA) == arccos(1/sqrt(65)) )
True

sage: CA.angle(AB)
arccos(2/5*sqrt(5))