Volumen sobre un cono y dentro de una esfera, utilizando integrales triples y coordenadas polares cilíndricas

Question

Considera la región encima del cono $z = \sqrt{x^2+y^2}$ y dentro de la esfera $x^2+y^2+z^2 = 16$.

Usa coordenadas polares cilíndricas para demostrar que el volumen de la región $R$ es $\frac{64\pi}{3}(2-\sqrt{2})$.

Para resolver esto, tomé los límites de $\theta$ de $0$ a $2$.

Luego tomé los límites de $z$ sustituyendo $z^2 = x^2+y^2$ (cono) en la ecuación de la esfera, obteniendo $z = 2\sqrt{2}$ como mi límite superior (y $0$ como el límite inferior).

Finalmente, tomé los límites de $r$ cambiando la ecuación de la esfera a $r = \sqrt{16-z^2}$ (usando $r^2 = x^2+y^2$), y $r = z$ (usando $r^2 = x^2+y^2 = z^2$, la ecuación del cono).

Esto me dio $$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\sqrt{2}}\int_{z}^{\sqrt{16-z^{2}}}rdrdzd\theta$$

"2 0 22 0 (16-Z^2) Z rdrdZd"

Sin embargo, la respuesta que obtuve de esta integral fue $2(162 - 16/3(2))$, lo cual estaba incorrecto.

Answer 1

El volumen está dado por $$V=\iiint_{E}\, {\rm d}V$$ donde $E$ es el sólido construido arriba del cono $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ y dentro de la esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4^{2}$.

Usando coordenadas cilíndricas $(r,\theta,z)$:

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z$$

La intersección es una proyección sobre $(X,Y)$ está dada por $$\{x^{2}+y^{2}+z^{2}=4^{2}\}\cap\{z=+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\}\implies x^{2}+y^{2}=(\sqrt{8})^{2}$$

Luego, \begin{align*} V&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{8}}\left(\sqrt{16-r^{2}}-\sqrt{r^{2}}\right)\color{red}{r}\, {\rm d}r{\rm d}\theta,\\ &=\int_{0}^{2\pi}\frac{32}{3}(2-\sqrt{2})\, {\rm d}\theta,\\ &=\boxed{\frac{64\pi}{3}(2-\sqrt{2})} \end{align*}

Usando coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$:

$$x=\rho\cos\theta\sin\phi,\quad y=\rho\sin\theta\sin\phi,\quad z=\rho\cos\phi$$

Luego, \begin{align*} V&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{4}\color{red}{\rho^{2}\sin\phi}\,{\rm d}\rho\, {\rm d}\phi\, {\rm d}\theta,\\ &=\int_{0}^{2\pi}\frac{4^{3}}{3}\left(-\cos\frac{\pi}{4}+\cos 0\right)\, {\rm d}\theta,\\ &=\boxed{\frac{64\pi}{3}(2-\sqrt{2})} \end{align*} como se deseaba.