Demostración: $\text{$n$ es par} \iff n^n\equiv 1\mod{(n+1)}$

Question

Demuestra: $\text{$n$ es par} \iff n^n\equiv 1\mod{(n+1)}$

donde $n\in\mathbb{N}$.

Primero, para probar $n^n\equiv 1\mod{(n+1)}\implies\text{$n$ es par}$, supuse que $n^n\equiv 1\mod{(n+1)}$ es verdadero.

Se hace de la siguiente manera:

La proposición supuesta se podría reescribir de la forma:

$$\forall k\in\mathbb{Z}:n^n=1+k(n+1)\tag{1}$$

Supongamos que $n$ es impar, entonces, $n=2p+1$ así que $n^n$ también. Por lo tanto, $n^n=2q+1$ donde $p,q\in\mathbb{N}$.

Aplicando esto a $(1)$ obtenemos:

\begin{align} \forall k&:2q+1=1+k(2p+2)\\ \forall k&:2q=2k(p+1)\\ \forall k&:q=k(p+1)\\ \end{align}

Supongamos $k=-1$ entonces $q=-p-1\implies q+p=-1$ y debido a que la suma de dos números naturales siempre será mayor que 1, entonces esta conclusión es falsa, por lo tanto, tenemos una contradicción. Por lo tanto, $n$ debe ser par.

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El problema es al revés, probar $\text{$n$ es par} \implies n^n\equiv 1\mod{(n+1)}$. Ni siquiera sé por dónde empezar. Intenté asumir que $n$ es par, entonces $n^n$ también, pero no sé cuándo insertar el operador módulo. Cualquier pista o solución sería válida.

Answer 1

Sugerencia $\ {\rm mod}\ n\!+\!1\!:\,\ n+1\equiv 0\,\Rightarrow\,\color{#c00}{n\equiv -1}\,\Rightarrow\, \color{#c00}n^{\large n}\equiv (\color{#c00}{-1})^{\large n}\ $ por la Regla de Congruencia de Potencias.

Answer 2

La dirección inversa es falsa para el contraejemplo de $n=1$. Sin embargo, resulta ser verdadera para todos los demás valores de $n\geq 2$.

Observa que $1^1\equiv 1\pmod{1+1}$ sin embargo $1$ no es par.

Para demostrar que la dirección inversa es verdadera para todos los $n\geq 2$ podemos hacer lo mismo que cuando demostramos la dirección directa, excepto que esta vez comenzamos asumiendo que $n$ es impar. Comienza notando que $n\equiv -1\pmod{n+1}$, entonces tenemos

$n^n \equiv (-1)^{2k+1}\equiv -1\pmod{n+1}$ lo cual no es equivalente a $1\pmod{n+1}$ (excepto en el caso de que $0\equiv 2\pmod{n+1}$, es decir, cuando $n=1$)

Answer 3

Para el $\,\Longrightarrow\,$, hay un truco interesante:

Sea $\,n=2m\,$ para $\,m\in\mathbb N\,$, entonces tenemos $$n^n-1\ =\ n^{2m}-1\ =\ (n^m+1)(n^m-1)$$

Tome esto como un polinomio de $\,n\,$, por lo tanto

($1$) Si $\,m\,$ es impar, entonces $\,(n+1)\,$ divide a $\,(n^m+1)$, entonces $\,n^n-1\equiv0\ \,\rm mod\ (n+1)$

($2$) Si $\,m\,$ es par, entonces $\,(n+1)\,$ divide a $\,(n^m-1)$, entonces $\,n^n-1\equiv0\ \,\rm mod\ (n+1)$