Pregunta - Fórmula de inversión de Möbius

Question

Necesito tu ayuda en la siguiente pregunta:

Demuestra directamente desde la definición la fórmula de inversión de Möbius.

(La función de Möbius se define de la siguiente manera:

• (n) = 1 si n es un número entero positivo libre de cuadrados con un número par de factores primos.
• (n) = 1 si n es un número entero positivo libre de cuadrados con un número impar de factores primos.
• (n) = 0 si n no es libre de cuadrados.)

No estoy seguro de qué necesito hacer y cómo

¡Gracias!

Answer 1

Bueno, ya que conoces la estructura de grupo abeliano, las cosas son mucho más fáciles:

Fórmula de Inversión de Möbius: Para funciones aritméticas $\,f\,,\,g\,$ tenemos

$$f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\iff g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\mu\left(\frac nd\right)$$

Prueba: Con las funciones

$$u(n)=1\;\;\forall n\in\Bbb N\;,\;\;I(n)=\begin{cases}1&\,\;\;n=1\\0&,\,\,n>1\end{cases}$$ obtenemos que

$$f=g*u\stackrel{\text{mult. by $\,\mu\,$}\;}\implies\,f*\mu=(g*u)*\mu=g*(u*\mu)=g*I=g\;\;\;\;\;\square$$