Llegué a este resultado por mi cuenta, trabajando con mi comprensión de los espacios $L^{p}$. Quería confirmar contigo si es verdad, o si estoy cometiendo algún error. Supongamos que, para algún $p \in [1,\infty]$, $f \in L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ tiene soporte compacto (asumamos que su soporte está dentro de un conjunto compacto $K \subset \mathbb{R}^{d})$. ¿Es verdad que $f \in L^{q}(\mathbb{R}^{d})$ para todo $q< p$? Parece cierto por un simple argumento de la desigualdad de Hölder: $$\|f\|_{q} = \bigg{(}\int dx |f(x)|^{q}\bigg{)}^{\frac{1}{q}} = \bigg{(}\int_{K}dx |f(x)|^{q}\bigg{)}^{\frac{1}{q}} = \bigg{(}\int_{K} dx 1^{\frac{p}{p-q}}\bigg{)}^{\frac{p}{p-q}}\bigg{(}\int_{K}dx|f(x)|^{q\frac{p}{q}}\bigg{)}^{\frac{q}{p}}$$ y esto es finito porque: $$\int_{K}dx 1^{\frac{p}{p-q}} = m(K) < \infty$$ donde $m$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^{d}$, que es finita porque $K$ es compacto y la otra integral es finita porque $f \in L^{p}(\mathbb{R}^{d})$. ¿Es correcto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Estoy publicando como respuesta solo para que puedas cerrar la pregunta, pero creo que te gustarán algunas observaciones hechas en los Ejercicios 9 al 12 de las notas del espacio Lp de Terry Tao. Tenemos ciertas garantías siempre y cuando el soporte de $f$ no sea "demasiado grande" o "demasiado pequeño". En particular:
a. Si la medida del (cualquier subconjunto del) soporte de $f$ está acotada por debajo de infinito (es decir, $\mu(K)$ es finito), entonces $$f \in L^p \implies f \in L^q$$ para todo $q \le p$.
b. Si las medidas de (subconjuntos no nulos) del soporte de $f$ están acotadas por encima de 0 (es decir, todos tienen una medida al menos $m > 0$), entonces $$f \in L^p \implies f \in L^q$$ para todo $q \ge p$.
Esto último es importante para espacios $\ell^p$, donde se utiliza la medida de conteo (con medida positiva mínima al menos 1).
(Como comentario, creo que las notas de Tao son realmente buenas en general para este tipo de cosas.)
