Demuestra que $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$ donde $f: X \rightarrow Y$

Question

¿Alguien puede verificar mi demostración de la igualdad anterior?

Define \begin{align*} f(A) &= \left\{ f(x) : x \in A \right\} \\ f(B) &= \left\{ f(x) : x \in B \right\} \end{align*} Entonces \begin{align*} f(A) \cup f(B) &= \left\{ f(x) : x \in A \lor B \right\} \\ f(A) \cup f(B) &= \left\{ f(x) : x \in A \cup B \right\} \\ \end{align*} Como $A \cup B \in X$, \begin{align*} f(A) \cup f(B) = f(A \cup B) \end{align*>

Answer 1

Se ve que tienes la idea correcta pero tu notación podría necesitar un poco de ayuda:

• Cuando dices $x \in A \lor B$ debería ser en realidad $x \in A \lor x \in B$. Al menos en mi opinión, $A \lor B$ no significa nada (ni $(x \in A) \lor B$), pero por supuesto un verdadero lógico puede corregirme aquí.
• Cuando dices $A \cup B \in X$ debería ser en realidad $A \cup B \subset X$. La primera afirmación dice que $A \cup B$ es un elemento de $X$, pero por cómo usaste $A,B$ esto no es cierto.

Yo escribiría la prueba de la siguiente manera:

Afirmación: Sea $f : X \to Y$ y $A, B \subset X$ entonces $f(A) \cup f(B) = f(A \cup B)$

Prueba: $$ \begin{eqnarray} f(A) \cup f(B) & = & \{f(x) : x \in A \} \cup \{f(x) : x \in B\} \\ & = & \{f(x) : x \in A \lor x \in B\} \\ & = & \{f(x) : x \in A \cup B\} \\ & = & f(A \cup B) \end{eqnarray} $$

¡Espero que esto ayude!

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Por supuesto, si uno está convencido por la prueba anterior, pueden hacer una doble inclusión; es decir, demostrar que $f(A) \cup f(B) \subset f(A \cup B)$ y $f(A) \cup f(B) \supset f(A \cup B)$.

Realmente esto depende de qué tan rigurosa sea la prueba que tú (o tu profesor) estén buscando. Si esta es una clase de teoría de conjuntos más intensa entonces es posible que se te pida escribir algunos pasos adicionales entre la primera y la segunda línea anterior.

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En general, personalmente prefiero el enfoque de la doble inclusión (puede requerir más escritura pero tiende a ser un poco más fácil / limpio en mi experiencia). Aquí está esa forma de la prueba:

Sea $y \in f(A) \cup f(B)$ entonces $y \in f(A) \lor y \in f(B) \implies \exists x \in A : f(x) = y \lor \exists x \in B : f(x) = y$ así que $\exists x \in A \lor \exists x \in B : f(x) = y \implies \exists x \in A \cup B : f(x) = y \implies y \in f(A \cup B).

Ahora sea $y \in f(A \cup B)$ entonces $\exists x \in A \lor \exists x \in B : f(x) = y$ entonces $\exists x \in A : f(x) = y \lor \exists x \in B : f(x) = y \implies y \in f(A) \lor y \in f(B) \implies y \in f(A) \cup f(B)$.

Answer 2

Comienzas con la definición de $f(A)$ y $f(B)$, lo cual es bueno (Yo quitaría la palabra "Define," porque no eres tú quien está definiendo algo aquí, aunque.)

Y tienes como conclusión la afirmación correcta. Sin embargo, la forma en que llegas del principio al final necesita mejorar.

Tu ecuación $$f(A) \cup f(B) = \left\{ f(x) : x \in A \lor B \right\}$$ no es una afirmación clara. La expresión $x\in A\lor B$ no tiene un significado, porque $\lor$ solo tiene sentido cuando está entre dos afirmaciones verdaderas-falsas. ($B$ no es una afirmación verdadero-falsa.) Lo que tienes que hacer para corregir esto depende de las definiciones que puedas usar, pero el primer paso probable al mirar $f(A)\cup f(B)$ es utilizar la definición de $\cup$, lo cual no es lo que has hecho. Un ejemplo de una afirmación correcta acerca de $f(A) \cup f(B)$ usando $\lor$ es esta:

$$f(A) \cup f(B) = \left\{ y\in Y : y \in f(A) \lor y \in f(B) \right\}.$$

También, dices que el resultado final es cierto "ya que $A\cup B\in X$," pero no tienes ninguna razón para saber que $A\cup B\in X$ (¿quisiste decir $A\cup B\subseteq X$?), ni conduciría a tu conclusión (ya sea con $\in$ o $\subseteq$).

No has examinado el conjunto $f(A\cup B)$ en absoluto, y eso sería útil, ya que estás tratando de mostrar que es igual a algo.

La pregunta original es demostrar que un conjunto es igual a otro conjunto. ¿Qué necesitas hacer para demostrar eso? Puedes mostrar que cada uno es igual al mismo conjunto, o puedes mostrar que cada uno es un subconjunto del otro (y necesitas saber exactamente lo que significa subconjunto para hacer eso).