Área del triángulo bajo condiciones de tangente.

Question

Para un triángulo agudo $ABC$, se cumplen las siguientes condiciones.

$$\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C } =2$$

$$ a^2 + b^2 + c^2 =50 $$

Calcular el área de dicho triángulo.

Utilicé una ley de adición de tangente y obtuve, $$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C $$.

Y sea $ \tan A \tan B \tan C = k $, entonces $\tan A , \tan B , \tan C $ son raíces de la siguiente ecuación cúbica. $x^3 - k x^2 +2k x - k $. Estoy atascado aquí.

Answer 1

Tenemos $$2=\sum_{cyc}\frac{ab\cos\gamma}{ab\sin\gamma}=\frac{\sum\limits_{cyc}(a^2+b^2-c^2)}{4S}=\frac{50}{4S},$$ lo que nos da $$S=\frac{25}{4}.$$