Equivalencia entre la expresión de suma y la expresión de potencia

Question

Esto es un poco tonto, pero ¿cómo puedo mostrar que $$ \frac{1}{4}\left(3^{x+1}+5\right) = \frac{1}{2}\left(3+\sum_{i=0}^x 3^i\right) $$

Answer 1

Pista:

Por la fórmula de la suma de una serie geométrica finita, tenemos que,

$$\sum_{r=0}^x 3^r=\frac{3^{x+1}-1}{3-1}$$

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Demostremos la fórmula por nosotros mismos. Tomemos la suma como $S$. Entonces,

$$3S=\sum_{r=1}^{x+1}3^r\implies 3S-S=3^{x+1}-3^0=3^{x+1}-1\\ \implies S=\frac{3^{x+1}-1}{3-1}$$