Deje que $f:A→B$ sea un morfismo de anillos y $φ : \operatorname{Spec}B→\operatorname{Spec}A$ su mapa continuo inducido, luego demuestre que $\rm im\ φ ⊆ V(\ker f)$

Question

Hoy me hicieron esta pregunta mi profesor:

Sean $A$, $B$ dos anillos conmutativos con unidad y $f :A \rightarrow B$ un morfismo de anillos y $ : \operatorname{Spec}(B) \rightarrow \operatorname{Spec}(A)$ la función continua definida por $f$ donde si $P \in \operatorname{Spec}(B) \:$ entonces $(P)=f^{-1}(P)$. Demostrar lo siguiente: $$\operatorname{im}()\subset V(\ker f)$$ donde $\ V(\ker f) = {\{P \in \operatorname{Spec}(A)\text{ y } \ker f \subset P \}}$

Ya sé que $V(\ker f)$ es homeomórfico a $\operatorname{Spec}(A/\ker f)$.

Answer 1

Pista fuerte:

Esto es esencialmente el teorema de correspondencia pero para anillos en lugar de grupos. Es decir, los ideales en $A$ que contienen a $\ker f$ están en correspondencia con los ideales en $B$, bajo la misma acción que tiene $\phi$. Este teorema se introduce antes en álgebra, por lo que probablemente ya lo hayas visto.

N.B. Es homeomorfo y mor_fo_ismo.

Answer 2

Se me ocurrió esta solución:

Sea $P\in \operatorname{Spec}(B)$ veamos que $\phi(P)\in V(\ker (f)) \:$, como $P$ es un ideal tenemos que $0 \in P\:$ así que $f^{-1}(0)\subset f^{-1}(P) \:$ eso significa que $\ker (f)\subset f^{-1}(P) \:$ entonces $f^{-1}(P)=\phi(P) \:$, concluimos que $\phi(P)\in V(\ker (f)) \:$

Es bastante simple pero creo que está bien.