Fracción continua análoga a la función zeta - ¿cómo definirla adecuadamente y encontrar sus propiedades?

Question

No me refiero a la representación en fracción continua de la función zeta; me refiero a la función que tiene la forma:

$$f(s)=\cfrac{1}{1^s+\cfrac{1}{2^s+\cfrac{1}{3^s+\cfrac{1}{4^s+\cdots}}}}$$

Para algunos valores, conocemos la función exactamente:

$$\begin{align*} f(0)&=\phi-1=0.61803398875\ldots\\ f(1)&=\frac{I_1(2)}{I_0(2)}=0.69777465796\ldots\\ f(-1)&=\frac{\pi}{2}-1=0.5707963268\ldots \end{align*}$$

Y obviamente, para valores grandes de $s$ positivos, se aproxima a $1$.

$$f(s \rightarrow +\infty) \rightarrow 1$$

Usando el criterio de convergencia para fracciones continuas simples, podemos concluir que $f(s<-1)$ no converge, lo cual es confirmado por el comportamiento de sus aproximaciones.

Aquí están las primeras aproximaciones, basadas en truncar la fracción continua:

$$\begin{align*} f_1(s)&=1\\ f_2(s)&=\frac{1}{1+2^{-s}}\\ f_3(s)&=\frac{2^s+3^{-s}}{1+2^s+3^{-s}}\\ f_4(s)&=\frac{1+2^s(3^s+4^{-s})}{1+(1+2^s)(3^s+4^{-s})} \end{align*}$$

Definiendo (gracias a vrugtehagel por su comentario útil):

$$f(s)=\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(s)$$

¿Cómo analizarías esta función? ¿Se puede convertir en una serie? ¿Cuáles de sus propiedades se pueden encontrar teóricamente? Tal vez ya fue estudiada, en cuyo caso me gustaría alguna referencia.

Editar

Usando relaciones de recurrencia para fracciones continuas, pude obtener aproximaciones para $f(s)$ de cualquier orden. El punto de ramificación cerca de $s=-1$ es fácil de ver.

Answer 1

(Este es un comentario que resultó demasiado largo para el recuadro de comentarios.)

Por diversión, decidí implementar esta función para argumentos complejos en Mathematica, y graficar sus partes real e imaginaria. Aquí está la imagen que obtuve:

Esa valla de poste concuerda con la observación del OP de que la función solo tiene sentido para $\Re s > -1$.

¿Se puede convertir en una serie?

Ciertamente, al menos puedes construir una serie de Euler-Minding a partir de esta CF:

$$\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{Q_k Q_{k+1}}$$

donde $Q_k$ es el denominador del k-ésimo convergente, y satisface la recurrencia $Q_k=k^s Q_{k-1}+Q_{k-2}$ con $Q_0=Q_1=1$. No sé si otra serie interesante puede construirse fácilmente, ya que no puedo encontrar una forma cerrada utilizable para $Q_k$.

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Para aquellos que quieran probarlo en Mathematica, implementé la recurrencia de Lentz-Thompson-Barnett (también mencionada aquí) de esta manera:

w[z_?InexactNumberQ] := 
  Module[{prec = Internal`PrecAccur[z], b, c, d, f, h, k},
         f = c = 1; d = 0; k = 2;
         While[b = k^z;
               d = 1/(b + d); c = b + 1/c;
               f *= (h = c d); k++;
               Abs[h - 1] > 10^-prec && k < 1000];
         1/f]