Sea $Q:C^\infty(\mathbb R)\to\mathbb R$ una función lineal. Supongamos que $Q(f)\geq 0$ para cualquier $f\in C^\infty(\mathbb R)$ tal que $f(0)=0$ y el conjunto $\{x\in\mathbb R\; \colon\; f(x)\geq 0\}$ es un vecindario de $0$. Demuestra que existen constantes $a,b,c\in\mathbb R$ tales que $$Q(f)=af''(0)+bf'(0)+cf(0),\qquad \forall f\in C^\infty(\mathbb R).$$
Respuesta
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La afirmación equivale a decir que $Q$ es cero en todas las funciones $f$ con $f(0)=f'(0)=f''(0)=0$. Supongamos que existe tal función $f$ con $Q(f)\neq0$, y consideremos $g(x)=s(x)+\lambda f(x)$ con $s(x)=x^2$. Tenemos $Q(g)=Q(s)+\lambda Q(f)$, y podemos elegir $\lambda$ de manera que $Q(g)<0$. Pero dado que $f''(0)=0$, hay un entorno del $0$ donde $g$ es no negativo, por lo que $Q(g)$ debería ser no negativo. La contradicción muestra que no hay tal función, y se sigue la afirmación.
[Edición en respuesta a los comentarios:]
Sea $Q(f)=0$ para todo $f\in C^\infty(\mathbb R)$ con $f(0)=f'(0)=f''(0)=0$, y sea $a=Q(f_2)$, $b=Q(f_1)$ y $c=Q(f_0)$ con $f_2(x)=\frac12x^2$, $f_1(x)=x$ y $f_0(x)=1$. Sea $g$ cualquier función en $C^\infty(\mathbb R)$, y consideremos $h=g-g''(0)f_2-g'(0)f_1-g(0)f_0$. Entonces $h(0)=h'(0)=h''(0)=0$, por lo que $Q(h)=0$, entonces $Q(h)=Q(g)-ag''(0)-bg'(0)-cg(0)=0$, por lo tanto $Q(g)=ag''(0)+bg'(0)+cg(0)$.
