¿Cómo puedo mostrar que si $a_1\neq a_2$, entonces $\left (\frac{a_1+a_2}{2} \right )^{2}> a_1a_2$?

Question

¿Cómo puedo mostrar que si $a_1\neq a_2$, entonces $\left (\frac{a_1+a_2}{2} \right )^{2}> a_1a_2$.

Mi trabajo: $(a_1-a_2)^{2}> 0\Rightarrow a_1^2-2a_1a_2 +a_2^2>0\Rightarrow a_1^2+a_2^2> 2a_1a_2\Rightarrow \frac{a_1^2+a_2^2}{2}> a_1a_2$.

¿Por qué esto no está funcionando?

Answer 1

Estás casi allí. Si sumamos $a_1a_2$ a la desigualdad final obtenemos $$\frac{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2}{2} > 2a_1a_2.$$ Ahora factoriza el lado izquierdo y divide por $2$ para terminar el problema.

Answer 2

Ok, solo otra forma de pensar:

Por absurdo, supongamos que $$\left( \frac{a_1+a_2}{2}\right)^2\leq a_1\cdot a_2.$$ Entonces, $$a_1^2+2a_1a_2+a_2^2\leq 4a_1a_2\Rightarrow a_1^2-2a_1a_2+a_2^2\leq 0$$ $$\Rightarrow (a_1-a_2)^2\leq 0.$$ Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo, obtenemos $$a_1-a_2=0,$$ es decir, $$a_1=a_2,$$ pero esto es absurdo, ya que según la hipótesis $a_1\neq a_2$.

Por lo tanto, $$\left( \frac{a_1+a_2}{2}\right)^2\geq a_1\cdot a_2.$$

Answer 3

En general, tienes esta desigualdad $a^{\lambda}b^{\lambda-1 } \le \lambda a+(1-\lambda)b$ . (no es difícil de probar tampoco)

Answer 4

Básicamente estás tratando de demostrar la desigualdad AM-GM, para $n=2$.

Déjame mostrarte esto: $$\left(\dfrac{a_1+a_2}{2}\right)^2-a_1a_2=\dfrac{1}{4}(a_1^2+a_2^2+2a_2a_1)-a_2a_1\\ =\dfrac{1}{4}(a_1^2+a_2^2-2a_1a_2)=\left(\dfrac{a_1-a_2}{2}\right)^2>0$$ Esto demuestra la afirmación deseada.

Answer 5

Otros han comentado sobre la prueba algebraica de que la afirmación es verdadera. Esto es demasiado corto para un comentario; aquí daré una explicación geométrica de la afirmación:

En primer lugar, probablemente sabes que un cuadrado tiene un área mayor que un rectángulo si tienen perímetros iguales. La prueba de esta afirmación es exactamente lo que han dado otras respuestas. Deja que los dos lados de un rectángulo sean $a_1$ y $a_2$. Entonces, el cuadrado con igual perímetro a este tendrá longitudes de lado de $\frac{a_1 + a_2}{2}$. Este cuadrado tendrá un área mayor que el rectángulo a menos que el rectángulo sea también un cuadrado, pero como $a_1 \neq a_2$ no podemos tener eso. Por lo tanto, $\left( \frac{a_1 + a_2}{2} \right)^2 > a_1 a_2$