Optimización de intervalo con desigualdades de longitud

Question

¿Cuál es la constante más grande $c$ tal que para cualquier función integrable $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}_{\ge 0}$ con $\int_0^1 fdx = 1$, es posible dividir $[0,1]$ en cinco intervalos $I_1,\dots,I_5$ (de izquierda a derecha) de tal manera que

• $|I_j|+|I_{j+2}| \ge |I_{j+1}|$ para $j=1,2,3$ ($|\cdot|$ denota la longitud del intervalo).

• $\int_{I_j}f dx \ge c$ para $j=1,\dots,5$?

Sin la primera condición, la respuesta es claramente $c = 1/5$. Con la primera condición, al comenzar con la solución $c = 1/5$ y modificarla para que cumpla con la condición, parece que es posible obtener $c = 1/10$, aunque esto no parece ser la respuesta correcta.

Answer 1

Algunos pensamientos / respuesta parcial: la función $f$ a continuación establece un límite de $c \leq 1/6$.

• Define $Z = (0.1, 0.9)$. Elegí $Z$ para representar Cero.

• $f(x) = 5$ para $x \notin Z$.

• $f(x) = 0$ para $x \in Z$.

Entonces esta función tiene dos partes estrechas ("zonas finales") con área $= 1/2$ cada una, una en cada extremo. Considera los cuatro puntos de límite (además de $0,1$).

• Si dos de ellos están en $Z$ entonces el área mínima $= \min_i \int_{I_i} f\ dx = 0$.

• Si ninguno de ellos está en $Z$ entonces no podemos cumplir la primera restricción a menos que los cuatro estén en la misma zona final. Esto limita el área mínima a $1/8$.

• Si uno de ellos está en $Z$ entonces lo mejor que podemos hacer es tener dos en una zona final y uno en la otra. Al tener $3$ intervalos en una de las zonas finales, esto limita el área mínima a $1/6$.