Tengo una cierta ecuación diferencial que incluye derivadas funcionales. Conozco la solución, pero tengo dificultades para demostrar que la ecuación está efectivamente resuelta por la solución. El trasfondo de esta pregunta es la teoría cuántica de campos (en particular, la interacción cuártica escalar $\phi^4$).
La ecuación, llamada la ecuación de Schwinger-Dyson, se lee $$ \nabla^2 \delta_xF[f]-\frac{g}{3!}\delta_x^3 F[f]-f(x)F[f]=0\tag{1} $$ donde $\delta_x$ es una derivada funcional: $$ \delta_x\equiv\frac{\delta}{\delta f(x)}\tag{2} $$ y $F[f]$ es una funcional de $f(x)$, una función escalar de $x\in\mathbb R^n$. Además, $\nabla^2$ es el Laplaciano en una cierta variedad.
El método estándar para resolver esta ecuación es a través de una "transformada de Fourier funcional", donde integramos formalmente sobre el espacio de funciones (también conocido como integración funcional). La solución supuestamente se lee (cf. [1]): $$ F[f]\propto \exp\left[\frac{g}{4!}\int\mathrm dx\ \delta_x^4\right]\exp\left[\frac{1}{2}\int\mathrm dy\,\mathrm dz\ f(y)G(y-z)f(z)\right]\tag{3} $$ donde $G$ es una función verde de $\nabla^2$, $$ \nabla^2G(x)\equiv\delta(x)\tag{4} $$
Pregunta
Sé cómo usar la transformada de Fourier para resolver $(1)$, y la solución es efectivamente $(3)$. Pero luego intenté insertar $(3)$ nuevamente en $(1)$ y demostrar que la ecuación está resuelta sin usar integración funcional, y fallé. La expansión del operador diferencial $\exp\left[\frac{g}{4!}\int\mathrm dx\ \delta_x^4\right]$ en series de potencias en $g$ conduce a un problema combinatorio algo complicado que no logro resolver.
Mi intento fue el siguiente: tomar $(1)$ y supongamos que $F$ se pued...
Gracias de antemano.
[1]: http://www.scl.rs/papers/QFT2notes.pdf, ecuación (2.23). Aquí el autor utiliza integrales funcionales para resolver la ecuación de Schwinger-Dyson (generalizada), ecuación (2.12). En esta publicación utilizamos la notación $F[f]$ en lugar de $Z[J]$, y también la masa $m$ es cero para mantener el análisis simple. Además, he eliminado algunos factores de $i$ para limpiar la notación.
