¿La suma conectada de múltiples complejos también es complejo?

Question

Deje $M$ $N$ ser real colectores de dimensión $n$ que suceden a admitir estructuras complejas (por lo que, necesariamente, $n=2k$ y ambos son orientables). Entonces sus conectado suma $M\# N$ también admite una estructura compleja?

Esto es cierto para $n=2$, debido a que cada orientadas $2$-dimensiones topológicas colector admite una estructura compleja. Sin embargo, esta operación no parece ser compatible con la información dada por la estructura; en particular, quisiéramos $M\sqcup N$ a, al menos, ser casi-compleja cobordant a $M\# N$, o que estos dos colectores deben tener el mismo Chern números. Tenemos $$c_1[M\sqcup N]=\langle c_1(\tau M\sqcup\tau N),[M\sqcup N]\rangle = \langle c_1(\tau M),[M]\rangle + \langle c_1(\tau N),[N]\rangle = c_1[M]+c_1[N] $$ Pero luego recuerdo que la primera clase de Chern de un complejo rango 1 paquete de $V$ es la clase de Euler de su realification, así que el primer número de Chern de un complejo 1-colector es su característica de Euler. Así $$c_1[M\# N] = \chi(M\#N)=\chi(M)+\chi(N)-2 \neq c_1[M] + c_1[N] $$ Así que parece que es posible que el hecho de que el complejo de $1$-colectores son cerrados bajo conectado suma podría ser una coincidencia.

En las dimensiones superiores no existen estructuras complejas en $S^{2k}$ (salvo, QUIZÁS,$S^6$). Pero, en la dirección positiva, hay estos complejos Calabi-Echkmann colectores homeomórficos a $S^{2k+1}\times S^{2l+1}$. Así que, ¿alguien sabe si, por ejemplo, el conectado suma de $g$ copias de $S^5\times S^5$ admite una estructura compleja para cualquier $g>1$?

Answer 1

$X = \Bbb{CP}^4 \#\Bbb{CP}^4$ no admite casi de estructura compleja. Sospecho que esto es cierto para $\Bbb{CP}^{2n} \# \Bbb{CP}^{2n}$ cualquier $n>0$; yo no puedo probarlo. La idea general es la obtención de una "más dimensiones" Wu teorema en el que los colectores de admitir estructuras complejas en términos de varios característica de las clases de su colector. Creo que esto es posible en todas las dimensiones, pero, probablemente, se vuelve absurdo muy rápidamente. El 8 dimensiones versión está aquí. Esto es lo que vamos a utilizar.

Preliminares: el cohomology anillo de $X$ es la suma directa de dos copias de la cohomology anillo de $\Bbb{CP}^4$, la identificación de la unidad y la forma de volumen en cada copia. Denotar los dos generadores de $H^2(X;\Bbb Z)$$x_1, x_2$.

1) Wu clases. Porque sabemos precisamente lo que la cohomology anillo, es fácil calcular esto. En particular, $Sq^2(x_1^3) = x_1^4$, e $Sq^2(x_2^3) = x_2^4$, lo $v_2 = x_1+x_2$. Del mismo modo vemos que $Sq^4(x_1^2) = x_1^4, Sq^4(x_2^2)=x_2^4$, lo $v_4 = x_1^2+x_2^2$. Trivialmente $v_6 = 0$.

2) Stiefel-Whitney clases. Debido a que el total de SW-clase $w$ satisface $Sq(v)$ donde $Sq$ es el total de Steenrod plaza y $v$ es el total de Wu clase, obtenemos $w_2 = v_2 = x_1+x_2$, $w_4 = v_2^2+v_4 = 0$, $w_6 = Sq^2(v_4) = 0$.

3) clases de Pontryagin. Podemos dar $X$ una estructura celular de tal forma que su 4-esqueleto es $\Bbb{CP}^2 \vee \Bbb{CP}^2$. Debido a $X_4 \hookrightarrow X$ induce un isomorfismo en $H^4$, el Pontryagin clase está determinada por la restricción de la clasificación del mapa de $X \to BSO(8)$$X_4$. Podemos elegir esta clasificación de mapa que ser de la forma $f \vee f$ donde $f$ es la restricción de la clasificación de mapa de $\Bbb{CP}^4$ a 4-esqueleto. Porque sabemos $p_1(\Bbb{CP}^4) = 5x_1^2$, podemos ver que $$p_1(X) = 5x_1^2+5x_2^2.$$ Ahora el Hirzebruch firma teorema nos dice que $p_2 = 20x_1^4$.

Ahora vamos a enchufe en el teorema. Nuestro cohomology clases de $u, v$ tendría que ser de la forma $u = (2k+1)x_1 + (2\ell+1)x_2$, e $v = 2mx_1^3 + 2nx_2^3$ donde $m,n$ tienen la misma paridad (b, c).

Entonces, debido a $\chi(M) = 16$, d) toma la forma $$128 = 80 + 32(km+\ell n) + 16(m+n) - (2k+1)^4 - (2\ell+1)^4 + 10(2k+1)^2 + 10(2\ell+1)^2 - 50.$$

Simplificando obtenemos $$80 = 32(km + \ell n - k^3 - \ell^3 + k^2 + \ell^2) + 16(k+\ell - k^4 - \ell^4 +m +n)$$ La reducción de la mod 32 y recordando que $m+n$ es incluso podemos obtener $$16 \equiv 16(k+\ell - k^4- \ell^4) \mod 32$$ But $k+\ell$ is odd iff $k^4 + \ell^4$ is odd, so the right side is $0 \mod 32$. Esta es una contradicción, como se desee.

Que este era mucho trabajo sugiere que este es, uh, el enfoque equivocado para demostrar que $\Bbb{CP}^{2n} \# \Bbb{CP}^{2n}$ nunca admite una estructura compleja. Tal vez alguien más dotado con obstrucción de la teoría de lo que puedo probar esto.

Answer 2

Deje $M$ $N$ ser complejos colectores. Porque tenemos un local del formulario (no es una vecindad de un punto isomorfo a la compleja unidad de disco) se puede comprobar que $M \# \overline N$ tiene un complejo natural de la estructura - sólo la línea de las copias de $\Bbb C^n \setminus \{0\}$ estás pegando por lo que la casi estructuras complejas partido. A continuación, el Nijenhuis tensor todavía se desvanece.

Por lo tanto, si $N$ apoya una estructura compleja, no $\overline N$? Esto significaría que $M \# N$ apoya una estructura compleja. Si $\text{dim}(N) = 4n+2$, esto es cierto: si $J$ es su (integrable casi) estructura compleja, entonces el complejo conjugado $\overline J$ da una estructura compleja en $\overline N$. La razón de que esto no funciona en la dimensión $4n$ es debido a $\overline J$ induce la misma orientación como $J$!

Así que no muy llamar a un golpe de suerte. Es cierto que para cada $4n+2$-dimensiones complejo colector, no sólo a $2$-dimensional. Pero no es cierto en cada una de las dimensiones.

4-variedades, es un teorema de Wu que $M$ admite casi de estructura compleja con $c_1(J) = c \in H^2(M;\Bbb Z)$ si y sólo si $c$ reduce a $w_2$ mod 2, y $c^2 = 3\sigma + 2\chi$. Usted puede probar usando este criterio, que una mayoría de dos de $M, N$, e $M \# N$ puede admitir casi estructuras complejas; en particular, $\Bbb{CP}^2 \# \Bbb{CP}^2$ no puede admitir casi una estructura compleja.

Yo no sé acerca de dimensiones superiores a $4n$. Podría ser prudente para pensar acerca de casi estructuras complejas en lugar de los más complejos en primer lugar, porque esos son más fáciles de trabajar y no se sabe de grandes dimensiones (complejo de dimensión $> 2$) ejemplos de casi complejos colectores de que no admiten una estructura compleja.