Cohomología de potencias exteriores de diferenciales de Kähler

Question

Sea $X=\mathbb{P}^n_k$ el espacio proyectivo sobre un campo $k$ de dimensión $n$ y denotemos por $\Omega$ la gavilla de diferenciales. Quiero mostrar que, $$\operatorname{dim}_k H^i(X,\Lambda^j\Omega)\begin{cases}1 \text{ si } i=j\leq n\\ 0 \text{ en otro caso}\end{cases}$$

Puedo derivar fácilmente el caso $j=1$ con la ayuda de la sucesión exacta de Euler, pero para el caso de $j>1$ si aplico $\Lambda^j$ a la sucesión exacta de Euler obtengo esta descripción prueba de la exactitud a la derecha del álgebra exterior de Eisenbud la cual no es muy útil.

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Si $F=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{n+1}$, entonces tienes una secuencia exacta, $$0\to \Omega^j\to\wedge^j F\to\Omega^{j-1}\to 0,$$ y luego deberías poder calcular todo usando inducción en $j$.