Función trigonométrica, con integración de cálculo.

Question

Encuentra $\int{\sin(x) \sec^3(x)\, dx}$

Así que alguien podría mostrarme cómo hacer esta pregunta. Estoy muy curioso de cómo se hace. Por cierto, esta no es una pregunta de tarea. GRACIAS

Answer 1

Si la integral es

$$\int dx \, \sin{x} \sec^3{x}$$

entonces esto es equivalente a

$$\int dx \tan{x} \, \sec^2{x} = \int d(\tan{x}) \tan{x} = \frac12 \tan^2{x} + C$$

Answer 2

$$\int\sin x\sec^3x\,dx=-\int (\cos x)'\cos^{-3}x\,dx=\frac{\cos^{-2}x}2+C=\frac12\sec^2x+C$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $$\sin x \sec^3 x = \frac{\sin x}{\cos^3 x} = \frac {\sin x}{\cos x} \cdot \frac 1{\cos^2 x} = \tan x\sec^2 x$$ Por lo tanto, podemos escribir

$$\int \sin x \sec^3 x \,dx\quad = \quad \int \tan x \,\sec^2 x \,dx $$

$$u = \tan x \quad \implies\quad du = \sec^2 x\, dx$$

$$\int u \, du = \frac 12u^2 = \frac 12 \tan^2 x$$

ADDED:
Si el integrando es en realidad $\color{blue}{ \sin x \cos \left(x^3\right)}$, entonces tenga en cuenta que esta no es una integral elemental: no hay un resultado que se pueda encontrar con funciones matemáticas estándar (elementales).