Érase una vez, estaba investigando las propiedades interesantes de los números primos. Una cosa que noté fue que si tomamos los valores absolutos de las diferencias entre cada primo, y repetimos este proceso en las diferencias de forma recursiva, la primera columna resulta siempre ser $1$ (Con la excepción de la primera fila) como se muestra a continuación para los primeros $10$ primos:
$$\begin{matrix} p_n & 2 & & 3 & & 5 & & 7 & & 11 & & 13 & & 17 & & 19 & & 23 & & 29 & \cdots \\ 1^{\text{ra}}\text{ diferencia}&& \color{#007777}1 && 2 && 2 && 4 && 2 && 4 && 2 && 4 && 6 \\2^{\text{da}}\text{ diferencia}& && \color{#007777}1 && 0 && 2 && 2 && 2 && 2 && 2 && \\3^{\text{ra}}\text{ diferencia} &&&&\color{#007777}1 && 2 && 0 && 0 && 0 && 0 \\ 4^{\text{ta}}\text{ diferencia}&&&&&\color{#007777}1 && 2 && 0 && 0 && 0 && 0 \\ \vdots &&&&&& \color{#007777}1 && 2 && 0 && 0 && 0 \\ \vdots&&&&&&&\color{#007777}1 && 2 && 0 && 0 \\ \vdots &&&&&&&&\color{#007777}1 && 2 && 0 \\ \vdots &&&&&&&&&\color{#007777}1 && 2 \\ \vdots &&&&&&&&&&\color{#007777}1\end{matrix}$$
Para simplificar, denotamos los términos en la forma $a_{m,n}$ donde $m$ es el número de fila y $n$ es el número de columna, así: $$\begin{matrix} a_{1,1} & & a_{1,2} & & a_{1,3} & & a_{1,4} && a_{1,5} & \cdots \\ & a_{2,1} &&a_{2,2} && a_{2,3} && a_{2,4} \\ && a_{3,1} && a_{3,2} && a_{3,3} \\ &&& a_{4,1} && a_{4,2} \\ &&&&a_{5,1} \end{matrix}$$
La forma general para las diferencias está dada por: $$a_{m+1,n}=|a_{m,n+1}-a_{m,n}| \tag{1}$$
Por lo tanto, conjeturé lo siguiente:
Permita que $m$ y $n$ denoten el número de fila y columna respectivamente. Por lo tanto, $a_{m,1}=1$ es cierto $\forall m\geq 2$ donde $m \in \mathbb{Z}^+$,
Me gustaría saber si esta conjetura es verdadera. Si es así, sería bueno si se proporciona una prueba. Por lo tanto, aquí muestro mis pensamientos sobre el problema:
El proceso en $(1)$, por supuesto, debe aplicarse recursivamente para obtener una expresión para los elementos en la primera fila. Por ejemplo, si pongo $a_{4,1}$ en términos de los elementos de la primera fila, obtenemos: $$\begin{align} a_{4,1} & =|a_{3,2}-a_{3,1}| \\ &=||a_{2,3}-a_{2,2}|-|a_{2,2}-a_{2,1}|| \\ &=|||a_{1,4}-a_{1,3}|-|a_{1,3}-a_{1,2}||-||a_{1,3}-a_{1,2}|-|a_{1,2}-a_{1,1}||| \end{align}\tag{2}$$ Esto no parece obvio por qué la conjetura es verdadera debido a los signos de valor absoluto.
Por lo tanto, decidí abandonar el uso de esta idea. Alguien sugirió que usara el postulado de Bertrand. Usaré la forma más débil del teorema, que afirma que si $p_n$ es el $n$-ésimo primo, para todo $n\geq 1$, entonces: $$p_{n+1}<2p_n$$ En ese caso, deduje que si aplico esto en la serie con potencias crecientes de $2$, entonces: $$\begin{matrix} \color{#007777}{1} & & \color{#777700}2 & & \color{green}{4} & & \color{orange}8 && 16 & \cdots \\ & \color{#007777}1 && \color{#777700}2 && \color{green}4 && \color{orange}8 \\ && \color{#007777}1 && \color{#777700}2 && \color{green}4 \\ &&& \color{#007777}1 && \color{#777700}2 \\ &&&& \color{#007777}1 \end{matrix}$$ Entonces cada una de las columnas tendrá valores idénticos como se muestra por los diferentes colores arriba. Pensé que esto era bastante similar, y dado que $p_n\leq 2^n$ donde $n\in \mathbb{Z}^+$, por lo tanto, esto sería cierto para los primos también. Sin embargo, parece dudoso porque las diferencias no son estrictamente crecientes como podemos ver en la $2^{\text{da}} \text{ diferencia}$ en la serie de números primos y además, estamos tomando el valor absoluto de las diferencias de forma recursiva como se muestra en el ejemplo en $(2)$.
Por lo tanto, no creo que el postulado de Bertrand se pueda aplicar directamente como he hecho.
En resumen, me gustaría saber si la conjetura es verdadera. Si es así, una prueba sería agradable. De lo contrario, si la conjetura es falsa, sería bueno tener una forma de poner en duda, como un contraejemplo.
