Justificando el procedimiento para computar $\sqrt{10+\sqrt{100+\sqrt{10,000 +\dots}}}$

Question

Recientemente me encontré con esta pregunta. Calcule $$\sqrt{10+\sqrt{100+\sqrt{10,000 +\dots)}}}.$$

Sé cómo hacerlo. Al igualar la expresión anterior a $x$ (es decir, $x = \sqrt{10+\sqrt{100+\sqrt{10,000 +\dots}}}$) y $x = \sqrt{10+x}$ y así sucesivamente. Pero ¿cómo se justifica esto? Quiero decir, si tomamos la expresión $\sqrt{10+x}$, literalmente es igual a $\sqrt{10+\sqrt{10+\sqrt{100 +\dots}}}$ lo que altera la expresión original. ¿Alguien puede aclarar mi duda?

Answer 1

$x=\sqrt{10+\sqrt{10^2+\sqrt{10^4+\cdots}}}$

$\implies \frac x{\sqrt{10}}=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}$ (Este es el conocido Número áureo)

entonces, $\frac x{\sqrt{10}}=\frac{ 1+\sqrt 5}{2}$

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Alternativamente, $\frac x{\sqrt{10}}=\sqrt{1+\frac x{\sqrt{10}}}$

Al elevar al cuadrado obtenemos, $\frac {x^2}{10}=1+\frac x{\sqrt{10}}\implies x^2-\sqrt{10}x-10=0

$\implies x=\frac{\sqrt 10\pm \sqrt {50}}{2}=\frac{\sqrt{10}(1\pm\sqrt 5)}{2}$

o $y=\sqrt{1+y}$ poniendo $\frac x{\sqrt{10}}=y$

$\implies y^2=1+y\implies y=\frac{1\pm\sqrt5}2\implies x=\frac{\sqrt{10}(1\pm\sqrt 5)}{2}$

Pero $x>0,$ lo que significa que $x=\frac{\sqrt{10}(1+\sqrt 5)}{2}$

Para la convergencia, se puede verificar en "Geometric Infinite Surd" aquí.

Answer 2

En este caso, no es tan simple como poner $x=\sqrt{10+x}$, como has señalado, esto cambia la expresión. Ahora, si estuvieras mirando $\sqrt{10+\sqrt{10+\sqrt{10+\cdots}}}$, eso es precisamente lo que harías. La razón por la que podemos hacer eso, es que estamos tratando con una secuencia definida recursivamente por $x_1=\sqrt{10}$, $x_{n+1}=\sqrt{10+x_n}$, y luego determinando el límite de esta secuencia. Esa secuencia converge (ya que es creciente y está acotada por arriba, por ejemplo por $10$), por lo que dejando que $x$ sea el límite, tomamos $n\to\infty$ en la ecuación de recursión $x_{n+1}=\sqrt{10+x_n}$, resultando en $x=\sqrt{10+x}$, lo cual luego podemos usar para determinar el límite.

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Vamos a considerar la secuencia dada por $y_1=\sqrt{10}$, $y_{n+1}=\sqrt{10+y_n\sqrt{10}}$. Entonces $$y_2=\sqrt{10+10}=\sqrt{10+\sqrt{100}},$$ $$y_3=\sqrt{10+\sqrt{10}\sqrt{10+\sqrt{100}}}=\sqrt{10+\sqrt{100+10\sqrt{100}}}=\sqrt{10+\sqrt{100+\sqrt{10,000}}},$$ y así sucesivamente. Ahora, si esta secuencia converge (digamos a $y$), entonces tomamos $n\to\infty$ en la ecuación $y_{n+1}=\sqrt{10+y_n\sqrt{10}}$, resultando en $y=\sqrt{10+y\sqrt{10}}$, lo cual podemos resolver para determinar $y$. La parte más complicada (en este caso) es determinar un límite superior, para poder probar la convergencia. Por lo que suena, sin embargo, se supone que debes dar por sentado que converge, por lo que todo lo que tienes que hacer es el procedimiento anterior.

Answer 3

Dado que el OP expresó algunas dudas sobre el procedimiento no la solución, aquí hay algunos elementos de tranquilidad. Deja que $a=10$, o, más generalmente, cualquier número real positivo.

En cualquier interpretación del ejercicio, el valor de $x$, si existe, debería corresponder al límite de una secuencia $(x_n)_{n\geqslant0}$ tal que $x_{n+1}=\sqrt{a+\sqrt{a}x_n}$, para cada $n\geqslant0$. Aquí hay un hecho:

Sea $(x_n)_{n\geqslant0}$ cualquier secuencia definida como se mencionó anteriormente. Para todo $x_0\geqslant-\sqrt{a}$, $x_n\to\ell_a$, donde $\ell_a=\frac12(\sqrt5+1)\sqrt{a}$.

Por lo tanto, sobre cualquier procedimiento razonable utilizado para definir $x$, primero, tendrá éxito, y segundo, resultará en $x=\ell_a$. Estamos felices. (Cuando $a=10$, $\ell_a=\frac{5+\sqrt5}{\sqrt{2}}$.)

Para probar el hecho mencionado anteriormente, considera la función $u_a$ definida por $u_a(t)=\sqrt{a+\sqrt{a}t}$, para cada $t\geqslant-\sqrt{a}$. Luego, $u_a$ es continua, creciente, tal que $t\lt u_a(t)\lt\ell_a$ para cada $-\sqrt{a}\leqslant t\lt\ell_a$, $u_a(\ell_a)=\ell_a$, y $\ell_a\lt u_a(t)\lt t$ para cada $t\gt\ell_a.

Como consecuencia, $x_n=\ell_a$ para cada $n\geqslant0$ si $x_0=\ell_a$, $(x_n)_{n\geqslant0}$ es creciente y acotada por arriba por $\ell_a$ y converge a $\ell_a$ para cada $-\sqrt{a}\leqslant x_0\lt\ell_a$, y $(x_n)_{n\geqslant0}$ es decreciente y acotada por debajo por $\ell_a$ y converge a $\ell_a$ para cada $x_0\gt\ell_a$. En todos los casos, $x_n\to\ell_a$.