¿Cómo puedo imaginar qué son exactamente los conjuntos de Borel? ("medida, integración y análisis real" de Sheldon Axler.)

Question

Estoy leyendo "Measure, Integration & Real Analysis" de Sheldon Axler.
Los siguientes ejercicios son el Ejercicio 7 y el Ejercicio 8 en la p. 38 en los Ejercicios 2B de este libro.

7. Demuestra que la colección de subconjuntos Borel de $\mathbb{R}$ es invariante por traslación. Más precisamente, demuestra que si $B\subset\mathbb{R}$ es un conjunto Borel y $t\in\mathbb{R}$, entonces $t+B$ es un conjunto Borel.

8. Demuestra que la colección de subconjuntos Borel de $\mathbb{R}$ es invariante por dilatación. Más precisamente, demuestra que si $B\subset\mathbb{R}$ es un conjunto Borel y $t\in\mathbb{R}$, entonces $tB$ (que se define como $\{tb: b\in B\}$) es un conjunto Borel.

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2.40 Definición Función boreliana medible
Supongamos que $X\subset\mathbb{R}$. Una función $f:X\to\mathbb{R}$ se llama medible boreliana si $f^{-1}(B)$ es un conjunto Borel para cada conjunto Borel $B\subset\mathbb{R}$.

2.41 toda función continua es medible boreliana
Toda función real continua definida en un subconjunto Borel de $\mathbb{R}$ es una función medible boreliana.

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Mi demostración del 7:

Sea $t\in\mathbb{R}$.
Sea $B\subset\mathbb{R}$ un conjunto Borel.
Sea $f:X\to\mathbb{R}$ una función tal que $X=\mathbb{R}$ y $f(x)=x-t$.
Entonces, $X$ es un subconjunto Borel de $\mathbb{R}$.
Entonces, $f$ es una función real continua definida en un subconjunto Borel de $\mathbb{R}$.
Así que, por 2.41, $f$ es una función medible boreliana.
Por la definición de función medible boreliana, $f^{-1}(B)$ es un conjunto Borel para cada conjunto Borel $B\subset\mathbb{R}$.
Dado que $f^{-1}(B)=t+B$, $t+B$ es un conjunto Borel.

Mi demostración del 8:

Sea $t\in\mathbb{R}$.
Sea $B\subset\mathbb{R}$ un conjunto Borel.
Si $t=0$, entonces $tB=\{0\}$.
Dado que $\{0\}$ es un conjunto cerrado, $tB$ es un conjunto Borel en este caso.
Supongamos que $t\neq 0$.
Sea $f:X\to\mathbb{R}$ una función tal que $X=\mathbb{R}$ y $f(x)=\frac{1}{t}x$.
Entonces, $X$ es un subconjunto Borel de $\mathbb{R}$.
Entonces, $f$ es una función real continua definida en un subconjunto Borel de $\mathbb{R}$.
Por lo tanto, por 2.41, $f$ es una función medible boreliana.
Por la definición de función medible boreliana, $f^{-1}(B)$ es un conjunto Borel para cada conjunto Borel $B\subset\mathbb{R}$.
Dado que $f^{-1}(B)=tB$, $tB$ es un conjunto Borel.

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Supongo que mis demostraciones están bien.
Sin embargo, no puedo imaginar qué son exactamente los conjuntos Borel.
Por ejemplo, sé que todo subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ es un conjunto Borel.
Por ejemplo, sé que todo subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$ es un conjunto Borel.
Solo conozco unos pocos ejemplos de conjuntos Borel.
Al principio no sabía cómo resolver estos ejercicios.
Simplemente encontré el 2.41 y resolví los Ejercicios 7 y 8.
¿Están bien mis demostraciones?
¿Cómo puedo imaginar qué son exactamente los conjuntos Borel?
Si alguien me pregunta qué es un conjunto Borel, entonces responderé que un conjunto Borel es un elemento de la colección de conjuntos Borel.

Answer 1

Creo que las pruebas se ven bien. (Podrían estar escritas de una manera un poco más pulida, pero su contenido matemático parece correcto.)

Mi intuición sobre los conjuntos de Borel en $\mathbb R$ es que son más o menos cualquier conjunto que puedas imaginar. Todos los racionales, todos los irracionales, cualquier intervalo o semirrecta, cualquier elemento único, toda la recta, y así sucesivamente. Hay conjuntos que no están en el $\sigma$-álgebra de Borel, pero para mí no son en absoluto obvios.

Si alguna vez estudias teoría de la probabilidad, verás que trabajar con variables aleatorias $X \colon (\Omega, \mathcal A) \to \left(\mathbb R, \mathcal B(\mathbb R)\right)$ es una opción muy natural. (Creo que el libro de texto que estás estudiando discute teoría de la probabilidad al final.)