El tamaño de $\mathbb{Z}_n *$

Question

Dado que $\phi(p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}) = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}(1-\frac{1}{p_1}) \cdots (1-\frac{1}{p_k})$

¿Cómo se puede demostrar que el tamaño de $\mathbb{Z}_n * = \{a \in \mathbb{Z}_n : \gcd(a,n)=1 \}$ es $\phi(n)$ ?

Para el caso $n = p^e$ donde $p$ es primo, lo resolví, ya que $1,2,\cdots,p-1 + m p$ tienen todos máximo común divisor de $1$ con $p$ para todos los $0 \leq m < p^{e-1}$ entonces tenemos $(p-1)p^e$ primos relativos a $p$, ¿pero cómo se resuelve en el caso general?

Answer 1

Mira tu primera identidad: $\phi(p_1^{e_1}\cdot \; .. \; \cdot p_n^{e_n}) = p_1^{e_1} \cdot \; .. \; \cdot p_n^{e_n}(1 - \frac{1}{p_1})\cdot \; .. \; \cdot(1 - \frac{1}{p_n})$, que a su vez es igual a $p_1^{e_1 - 1}(p_1 - 1)\cdot \; .. \; \cdot p_n^{e_n - 1}(p_n - 1)$. Utilizando el hecho de que $\phi(p^e) = p^{e - 1}(p - 1)$ y el isomorfismo $\mathbb{Z}^{*}_{pq} \cong \mathbb{Z}^{*}_p \times \mathbb{Z}^{*}_q$, obtienes tu resultado.