Cómo rotar un vector a lo largo de otro vector

Question

Quiero rotar un vector p. ej. $V = Ai + Bj + Ck$ a lo largo de otro vector $U = xi + yj + zk$. El ángulo entre $U$ y $V$ es $\theta$.

¿Cómo puedo hacer eso y cómo sé el nuevo valor de $A$, $B$, $C$ a lo largo de la dirección de $U$?

Gracias de antemano.

Bk

Answer 1

Con un enfoque general podemos proceder de la siguiente manera

1. Considerar una base ortogonal con $v_1=U$, $v_2=V-\frac{V\cdot U}{U\cdot U}U$ y $v_3=v_1\times v_2
2. En esta base, el vector $V$ es $V_B=(|V|\cos \theta,|V|\sin \theta, 0)
3. Encontrar el $W_B$ rotado por la matriz de rotación estándar $R_B$ que es $W_B=R_BV_B
4. Volver a la base estándar por $W=MW_B$ donde $M$ es la matriz para el cambio de base de la nueva base a la base estándar, que es $M=[v_1\quad v_2\quad v_3]
5. También podemos obtener la expresión para la matriz de rotación en la base estándar de hecho

$$W_B=R_BV_B\iff M^{-1}W=R_BM^{-1}V\iff W=MR_BM^{-1}V \quad R=MR_BM^{-1}$$

Answer 2

Puedes usar la matriz de rotación si quieres rotar un vector 'alrededor' de la dirección $n$ (con $|n|=1$) por $\theta$: $$R_{kl}=\cos(\theta)\delta_{kl}+n_kn_l(1-\cos(\theta))+\sum_{m}\epsilon_{kml}n_m\sin(\theta)$$