Problemas con $End_k(V)$.

Question

Sea $k$ un campo y $V$ un espacio vectorial sobre $k$ de dimensión numerable infinita.

Sea $E=End_k(V)$. Para cada $n\geq 1$, $E\simeq E^n

Sea $E=End_k(V)$. Para cada $n\geq 1$, como módulo sobre $E$, $E$ tiene una base de cardinalidad $n

Para mí está claro que $E$ es un espacio vectorial sobre $k$, pero no entiendo por qué la base de $E$ será numerable infinita. Lo que quiero usar es el hecho de que $V\simeq V^n$ cuando $\dim(V)$ es numerable infinita.

Sé esto, pero no puedo terminar:

$$End_k(V)=Hom(V,V)\cong Hom(V,V^2)\cong Hom(V,V^n)$$

Para el otro caso, el problema dice que si es un $E$-módulo, es un módulo libre de rango $n$, pero eso me parece claro por definición de $E$-módulo. ¿Qué debo probar entonces?

¿Alguien podría darme una pista o explicármelo?

Answer 1

La idea es que la isomorfismo de grupos abelianos $\hom(V_k,V_k\oplus V_k)\cong \hom(V_k, V_k)\oplus \hom(V_k,V_k)$ inducido por un isomorfismo $V_k\to V_k\oplus V_k$ resulta ser lineal en $E$. La siguiente demostración aparece en el libro de Lam Lectures on Modules and Rings página 4 (realmente no puedo mejorarla):

Si aún te sientes inseguro al respecto, puedes intentar calcular la base de $R$ con dos elementos usando la isomorfismo de $V\to V^2$ que identifica una copia de $V$ generada por los elementos de la base pares de $V$ y otra copia generada por los elementos de la base impares.

Obviamente por inducción, una vez que tengas $E_E\cong E^2_E$, entonces obtienes $E_E\cong E^n$ para cualquier entero positivo $n.