Pintar el plano de rojo y azul: ¿Es posible que cada circunferencia de unidad contenga exactamente $n$ puntos azules?

Question

Recientemente me encontré con el siguiente problema:

Considera el plano: Puedes colorear cada punto ya sea en rojo o azul. ¿Existe una forma de colorearlo de manera que cada circunferencia unitaria (centrada en cualquier lugar) contenga exactamente un punto azul? ¿Y dos?

Lo resolví relativamente fácil: el caso de "uno" no tiene solución, y el caso de "dos" se resuelve colocando los puntos azules en un conjunto de líneas paralelas, a una distancia de dos de sus vecinos.

Por supuesto no pude resistir la tentación de considerar el caso $n$: Para $n$ par, la solución se extiende fácilmente considerando líneas a una distancia de $4/n$.

Mi pregunta es: ¿alguna ayuda para el caso $n$ impar?

Si hay justicia en el mundo, no debería haber solución, pero honestamente no sé por dónde empezar.

EDIT: He tenido esta idea: si tengo una solución para un caso $m$, y otra para el caso $n$, tal que no se intersectan (es decir, cuando un punto es azul en una solución no lo está en la otra) entonces simplemente superponiendo las soluciones se obtiene una solución válida $m+n$. También es lógico deducir que si existe una solución $k$, y contiene una solución $m$, entonces eliminarla produce una solución $k-m$.

Así que todo lo que necesito probar es que una solución para un $k$ impar debe contener una solución $k-1$, y por lo tanto también una solución $1$, la cual demostré que no puede existir, por lo tanto tampoco puede existir la solución impar genérica.

Para referencia: Sé geometría hasta los conceptos básicos de variedades, análisis hasta (pero no incluyendo) la medida e integración de Lebesgue, y algo de teoría de grupos.

Aquí está la prueba para el caso $n = 1": Obviamente, debe haber al menos un punto azul: de lo contrario, cualquier circunferencia no contendría puntos azules y rompería la condición. Considera el círculo centrado en ese punto azul: debe tener un punto azul. Por lo tanto, tenemos dos puntos azules a una distancia de 1, por lo tanto hay un círculo que los contiene a ambos, y viola la condición. Por lo tanto, no puede haber una configuración exitosa de puntos azules, QED.

También tengo esta otra prueba: Toma un punto azul. Considera todos los círculos que contienen ese punto. Esos círculos no pueden tener ningún otro punto azul, porque deben tener exactamente uno. Todos esos círculos cubren un disco de radio 2 centrado en el punto azul, y dicho disco no puede contener otros puntos azules. Por lo tanto, el círculo centrado en el punto azul no contiene puntos azules y rompe la condición, QED.

Answer 1

Suponiendo el axioma de elección, no hay realmente nada que impida que exista una solución con $n=3$ (a diferencia del caso $n=1$ donde un único punto azul obligaba a algunos puntos rojos a estar por todos lados)

Biyecta el conjunto de círculos unitarios en el ordinal más pequeño con la cardinalidad de $\Bbb R$, $\alpha$, y realiza una inducción transfinita en $\alpha.

Sea $\beta \in \alpha$, y supongamos que hemos seleccionado puntos azules para todos los círculos numerados $\gamma$ con $\gamma \in \beta$ sin formar un círculo con circunferencia unitaria que tenga cuatro puntos azules.

Si el círculo $\beta$ ya tiene tres puntos azules, entonces no tenemos que hacer nada.

De lo contrario, tendremos que seleccionar entre uno y tres puntos en él, sin introducir un círculo con cuatro puntos azules. Para cualquier terna de puntos azules, si su círculo tiene circunferencia unitaria, entonces no podemos añadir más puntos azules en ellos. Pero en total, siempre hay como máximo $\beta^3 < \alpha$ círculos que ya tienen tres puntos azules, y cada uno de esos círculos solo puede intersecar al círculo número $\beta$ en como máximo dos puntos, por lo que no pueden cubrir nuestro círculo completamente.

Así que siempre tendremos espacio para elegir los pocos puntos azules necesarios sin formar un círculo con cuatro puntos azules.