$x, y, z\ge 0: xy+yz+zx=3$, demuestra que $\frac{1}{\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y+1}}+\frac{1}{\sqrt{3z+1}}\ge \frac{3}{2}$.

Question

Problema. Si $ x,y,z\ge 0: xy+yz+zx=3$, demuestra que$$\frac{1}{\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y+1}}+\frac{1}{\sqrt{3z+1}}\ge \frac{3}{2}.$$

Por AM-GM, probaremos algo más fuerte: $$\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{3z+1}\ge \frac{3}{4}\sqrt{(3x+1)(3y+1)(3z+1)}.$$ Lo comprobé y parece ser cierto. Intenté elevar al cuadrado ambos lados, pero el resto es complicado.

Espero ver más ideas. ¡Gracias!

Answer 1

Otro camino.

Por AM-GM $$\sum_{cic}\frac{1}{\sqrt{1+3x}}=\sum_{cic}\frac{4}{2\sqrt{4(1+3x)}}\geq\sum_{cic}\frac{4}{3x+5}$$ y es suficiente probar que: $$8\sum_{cic}(3x+5)(3y+5)\geq3\prod_{cic}(3x+5)$$ o $$5(x+y+z)+12\geq27xyz,$$ lo cual es verdadero otra vez por AM-GM.

Answer 2

PISTA.- Al ir a dos variables obtenemos la función $$f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y+1}}+\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{9+x+y-3xy}}$$ entonces el dominio para $x,y$ positivos de la función está definido por $9+x+y\gt3xy$ y la función $f$ está definida para todos los $(x,y)$ encerrados por el eje y la rama positiva de la hipérbola $y=\dfrac{x+9}{3x-1}$ sin incluir este límite.

Como de costumbre, el mínimo, --que podemos verificar por derivación--, se da con la igualdad $x=y$ entonces

$$g(x)=f(x,x)=\frac{2}{\sqrt{3x+1}}+\sqrt{\frac{2x}{9+2x-3x^2}}$$ y el mínimo de esta función corresponde al punto $(1,1.5)$ lo cual demuestra que $f(x,y)\ge \dfrac32$.

Answer 3

Por Holder $$\left(\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{3x+1}}\right)^2\sum_{cyc}(3x+1)(y+z)^3\geq8(x+y+z)^3.$$ Por lo tanto, es suficiente demostrar que $$32(x+y+z)^3\geq9\sum_{cyc}(3x+1)(y+z)^3,$$ que es una desigualdad lineal de $xyz$, que según $uvw$ dice que es suficiente demostrar nuestra desigualdad en los siguientes dos casos:

1. Dos variables son iguales.

Sea $y=x$ y $z=\frac{3-x^2}{2x},$ donde $0 lo que da $$(x-1)^2(15x^5+53x^4-2x^3+6x^2-13x+7)\geq0,$$ lo cual es obvio.

2. $xyz=0$. Este caso para ti.

Sobre $uvw$ ver aquí: https://artofproblemsolving.com/community/c6h278791