Cálculo de Spivak capítulo 21 problema 7: conjunto de puntos de discontinuidad de una función no decreciente

Question

Sea $f$ una función no decreciente en $[0,1]$

Demuestra que

a) Para cualquier $\epsilon > 0 $ solo hay un número finito de $a$ con $\lim_{a\to\ x^+}{f(x)}-\lim_{a\to\ x^-}{f(x)} > \epsilon$

b) El conjunto de puntos en los que $f$ es discontinua es numerable

Estoy teniendo problemas con la parte a, la pista proporcionada dice que hay a lo sumo $(f(1) - f(0))/\epsilon$ de dichos puntos, pero no puedo probarlo. No estoy seguro de por dónde empezar.

Para la parte b he pensado en lo siguiente:

Sea $A = \{a: f(x)\text{ es discontinua en a }\}$ Sea $a_1 \in A$, entonces tenemos $\lim_{a_1\to\ x^+}{f(x)}-\lim_{a_1\to\ x^-}{f(x)} > 0$, Existe un $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que $$ \lim_{a_1\to\ x^+}{f(x)}-\lim_{a_1\to\ x^-}{f(x)} > \frac{1}{n_1}$$ Según la parte a, el conjunto $A_1 = \{a: \lim_{a_1\to\ x^+}{f(x)}-\lim_{a_1\to\ x^-}{f(x)} > \frac{1}{n_1}\}$ es finito. Si $A_1 = A$ ya hemos terminado, si no, existe $a_2 \in A$ tal que $$\lim_{a_2\to\ x^+}{f(x)}-\lim_{a_2\to\ x^-}{f(x)} < \frac{1}{n_1}$$ También existe $n_2 \in \mathbb{N} $ tal que $$\lim_{a_2\to\ x^+}{f(x)}-\lim_{a_2\to\ x^-}{f(x)} > \frac{1}{n_2}$$

Sea $A_2 = \{a: \lim_{a_2\to\ x^+}{f(x)}-\lim_{a_2\to\ x^-}{f(x)} \in (\frac{1}{n_2},\frac{1}{n_1})\}$ Según la parte a, $A_2$ es finito

Si $A = A_1 \cup A_2$ hemos terminado, si no, existe $a_3 \in A$ tal que... y así sucesivamente. En general Sea $a_i$ , $i> 1 $ el punto ith con $$\lim_{a_i\to\ x^+}{f(x)}-\lim_{a_i\to\ x^-}{f(x)} < \frac{1}{n_{i-1}}$$ entonces existe un $n_i \in \mathbb{N}$ tal que $$\lim_{a_i\to\ x^+}{f(x)}-\lim_{a_i\to\ x^-}{f(x)} >\frac{1}{n_i}$$

Sea $$A_i = \{a: \lim_{a_i\to\ x^+}{f(x)}-\lim_{a_i\to\ x^-}{f(x)} \in (\frac{1}{n_i}, \frac{1}{n_{i-1}})\} $$. Según la parte a, $A_i$ es finito y hay o bien un $m \in \mathbb{N} $ con $$ \bigcup_{i = 1}^m A_i = A \text{ o } \bigcup_{i = 1}^\infty A_i = A $$ Dado que cada $A_i$ es numerable y la unión de conjuntos numerables es numerable, $A$ es numerable.

¿Es correcta mi prueba de la parte b?. Cualquier ayuda con la parte a es apreciada

Answer 1

Supongamos que $\{x_n\}$ es un conjunto infinito de puntos distintos tal que $$ \lim_{x\to x_n^+}{f(x)}-\lim_{x\to x_n^-}{f(x)} > \epsilon. $$ Supongamos sin pérdida de generalidad que $x_1>x_2>\cdots$. Escoge puntos $y_n$ con $x_n>y_n>x_{n+1}$. Entonces $$ f(y_n)\geq\lim_{x\to x_n^+}f(x)>\varepsilon +\lim_{x\to x_n^-}f(x)\geq \varepsilon + f(y_{n+1}). $$ Luego, para cualquier $m$, $$ f(1)-f(0)>f(y_1)-f(y_{m+1})=\sum_{n=1}^m f(y_{n})-f(y_{n+1})>\varepsilon m. $$ Como $m$ es arbitrario, llegamos a una contradicción.

Para la parte b), tu idea es correcta pero creo que se puede implementar de forma un poco más simple. Sabes que si $f$ es discontinua en $a$ entonces $\lim_{x\to a^+}f(x)-\lim_{x\to a^-}f(x)>0$. Sea $$ A_m=\{a:\ \lim_{x\to a^+}f(x)-\lim_{x\to a^-}f(x)>\tfrac1m\}. $$ Entonces $$ \{f\ \text{ es discontinua}\}=\bigcup_m A_m $$ es una unión contable de conjuntos finitos, por lo tanto, contable.