El $n$-elitopo se define como el conjunto de matrices de correlación de $n$-por-$n$; es decir, el conjunto de matrices simétricas definidas positivas de $n$-por-$n$ con unos en la diagonal. Estas matrices se parametrizan por sus $n(n-1)/2$ elementos superiores fuera de la diagonal. En el caso de $n=3$, esto da como resultado el 3-elitopo $$\Gamma = \{(x,y,z)\in[-1,1]^3 : x^2+y^2+z^2\leq 1+2xyz\}.$$
El volumen de $\Gamma$ fue considerado en una pregunta anterior (¿Cuál es el volumen del elitopo tridimensional?) y se mostró que es $\pi^2/2$. Sin embargo, lo que me interesa actualmente es el subconjunto de matrices de correlación 3-por-3 singulares. Esto corresponde precisamente al límite del conjunto anterior: $$\partial \Gamma = \{(x,y,z)\in [-1,1]^3: x^2+y^2+z^2=1+2xyz\}.$$
Con eso en mente, lo que quiero saber es el área superficial de $\partial \Gamma.$ Formalmente, esto no es tan difícil: La superficie se puede expresar como la unión de las superficies $z=f_{\pm}(x,y)=x y\pm \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$, y la superficie de abajo es el espejo de la superior. Por lo tanto, sus áreas son las mismas, por lo que el área total está dada por la doble integral $$S=2\int_{-1}^1\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac{\partial f_+}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f_+}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy,$$ donde $$\frac{\partial f_+}{\partial x} = y-x\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}},\quad \frac{\partial f_+}{\partial y}=x-y\sqrt{\frac{1-x^2}{1-y^2}}.$$ Si uno sustituye $x=\cos\alpha,y=\cos\beta$ en los rangos $0\leq \alpha,\beta\leq \pi$, entonces el resultado se puede expresar en la forma
$$S = 2\int_{0}^\pi\int_0^\pi \sqrt{\sin^2(\alpha) \sin^2(\alpha -\beta )+\sin^2(\beta ) \sin^2(\alpha -\beta )+\sin^2(\alpha) \sin^2(\beta) }\;d\alpha \,d\beta.$$ Lamentablemente, aunque esta integral es intrigante, ha desafiado mis intentos de solución analítica (así como los de Mathematica). Sin embargo, numéricamente, la integral parece ser exactamente $5\pi$. ¿Alguien puede demostrar que este resultado es correcto?
