$\mathrm G$ es la constante de Catalan.
Recientemente encontré el producto $$ \alpha=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{E_n(\frac12)E_n(\frac7{12})E_n(\frac1{20})E_n(\frac{13}{20})}{E_n(\frac14)E_n(\frac1{12})E_n(\frac3{20})E_n(\frac{11}{20})}=\\ \exp\left[\frac{47\mathrm G}{30\pi}+\frac34\right]\sqrt{\frac{33}{91\pi}\sqrt{\frac2\pi\frac{\sqrt[5]{11}}{\sqrt[3]{7}}\sqrt[5]{\frac{3^3}{13^{3}}}}}$$ (una forma alternativa del producto en el título)
Donde $$E_n(x)=\frac{j(n+x)}{(en)^{2x}j(n-x)}\qquad x\in(0,1)$$ y $j(x)=x^x$.
¿Podría obtener alguna evidencia numérica, o aún mejor, una demostración alterna? Mis herramientas están limitadas a desmos, que realmente no pueden manejar productos infinitos. Gracias.
Mi demostración.
Definimos $$\mathrm L(x)=\frac1\pi\int_0^{\pi x}\log(\sin t)dt$$ Y usamos $$\sin t=t\prod_{n\geq1}\left(1-\frac{t^2}{\pi^2 n^2}\right)$$ Para ver que $$\log(\sin t)=\log(t)+\sum_{n\geq1}\log\frac{\pi^2n^2-t^2}{\pi^2n^2}$$ Luego integramos ambos lados sobre $[0,x]$ para obtener $$\pi\mathrm L(x/\pi)=x(\log x-1)+\sum_{n\geq1}x\log\bigg(1-\frac{x^2}{\pi^2n^2}\bigg)-2x+\pi n\log\frac{\pi n+x}{\pi n-x}$$ $$\pi\mathrm L(x/\pi)=\log\left[\frac{j(x)}{e^x}\right]+\sum_{n\geq1}\log\left[\frac{j(\pi n+x)}{(e\pi n)^{2x}j(\pi n-x)}\right]$$ $x\mapsto \pi x$: $$\pi\mathrm L(x)=\log\left[\frac{j(\pi x)}{e^{\pi x}}\right]+\sum_{n\geq1}\log\left[\frac{j(\pi n+\pi x)}{(e\pi n)^{2\pi x}j(\pi n-\pi x)}\right]$$ $$\mathrm L(x)=\log\left[\left(\frac\pi{e}\right)^xj(x)\right]+\sum_{n\geq1}\log E_n(x)$$ Luego definimos $$U(x)=\prod_{n\geq1}E_n(x)$$ Para ver que $$U(x)=\left(\frac{e}{\pi x}\right)^x\exp\mathrm L(x)$$ Donde usamos $$\sum_{n}\log(a_n)=\log\left[\prod_{n}a_n\right]$$ y las reglas útiles $$\log(a^b)=\log(e^{b\log a})=b\log a$$ $$\log(a)\pm b=\log\left(e^{\pm b}a\right)$$ para simplificar las expresiones. Luego, definimos $$P_{\mu,\nu}(a_1,a_2,\dots,a_\mu;b_1,b_2,\dots,b_\nu)=\frac{\prod_{i=1}^\mu U(a_i)}{\prod_{i=1}^\nu U(b_i)}$$ Y vemos que $$P_{\mu,\nu}(a_1,\dots,a_\mu;b_1,\dots,b_\nu)=\prod_{n\geq1}\frac{\prod_{i=1}^\mu E_n(a_i)}{\prod_{i=1}^\nu E_n(b_i)}$$ Esto nos da $$P_{1,1}(x_1;x_2)=\left(\frac{e}{\pi}\right)^{x_1-x_2}\frac{j(x_2)}{j(x_1)}\exp\left[\mathrm L(x_1)-\mathrm L(x_2)\right]$$ Entonces definimos $$\mathrm{T}(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi x}\log(\tan t)dt=\mathrm L(x)-\mathrm L(x+1/2)-\frac12\log2$$ Para obtener $$P_{1,1}\left(x;x+\frac12\right)=\sqrt{\frac{2\pi}e}\,\frac{j(x+1/2)}{j(x)}\exp\mathrm T(x)$$ Así que tenemos $$P_{2,2}\left(x_1,x_2+\frac12 ;x_2,x_1+\frac12\right)=\frac{j(x_1+1/2)j(x_2)}{j(x_2+1/2)j(x_1)}\exp\left[\mathrm T(x_1)-\mathrm T(x_2)\right]$$ Luego usando las identidades $$\mathrm L(1/2)=-\frac12\log2$$ $$\mathrm L(1/4)=-\frac{\mathrm G}{2\pi}-\frac14\log2$$ Obtenemos $$P_{1,1}\left(\frac12;\frac14\right)=\frac1{(2\pi)^{1/4}}\exp\left[\frac{\mathrm G}{2\pi}+\frac14\right]\tag{1}$$ Desde aquí, la identidad $$-\mathrm T(1/12)=\frac{2\mathrm G}{3\pi}$$ que da $$P_{1,1}\left(\frac7{12};\frac1{12}\right)=\sqrt{\frac6{7\pi\sqrt[6]{7}}}\exp\left[\frac{2\mathrm G}{3\pi}+\frac12\right]\tag{2}$$ Luego, desde aquí, la identidad $$\mathrm T(1/20)-\mathrm T(3/20)=\frac{2\mathrm G}{5\pi}$$ da $$P_{2,2}\left(\frac1{20},\frac{13}{20};\frac3{20},\frac{11}{20}\right)=\left(\frac{j(11)j(3)}{j(13)}\right)^{1/20}\exp\frac{2\mathrm G}{5\pi}\tag{3}$$ Luego multiplicando $(1),(2),$ y $(3)$, tenemos el resultado deseado, es decir $$P_{4,4}\left(\frac12,\frac7{12},\frac1{20},\frac{13}{20};\frac14,\frac1{12},\frac3{20},\frac{11}{20}\right)=\alpha$$
